Question

如圖，A、B兩地相距28個(gè)單位長度．AO=8個(gè)單位長度，PO=4個(gè)單位長度，∠POB=60°，現(xiàn)在點(diǎn)P開始繞著點(diǎn)O以60度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周停止，同時(shí)點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
①當(dāng)t=

 

時(shí)，∠AOP=90°；
②假若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)能相遇，求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度．
③如果點(diǎn)P繞著點(diǎn)O以a度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周停止，同時(shí)點(diǎn)Q沿直線BA自點(diǎn)B以bcm/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，∠POQ恰好等于90°，求a：b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：①根據(jù)時(shí)間=∠AOP的度數(shù)÷點(diǎn)P繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度，列式計(jì)算即可求解；
②由于點(diǎn)P，Q只能在直線AB上相遇，而點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到直線AB上的時(shí)間分兩種情況，所以根據(jù)題意列出方程分別求解；
③分兩種情況：Ⅰ）當(dāng)P點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)90°-60°=30°時(shí)；Ⅱ）當(dāng)P點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)180°-60°+90°=210°時(shí)；分別表示出P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，聯(lián)立方程求得答案即可．

解答：解：①當(dāng)∠AOP=90°時(shí)，t=

90-60

60

=0.5s或t=

180-60+90

60

=3.5s．
故答案為0.5秒或3.5秒；

②點(diǎn)P，Q只能在直線AB上相遇，則點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到直線AB上的時(shí)間為

120

60

=2s或

120+180

60

=5s．
設(shè)點(diǎn)Q的速度為y個(gè)單位長度/s，
當(dāng)2秒時(shí)相遇，依題意得，2y=28-4，解得y=12；
當(dāng)5秒時(shí)相遇，依題意得，5y=28-12，解得y=3.2．
答：點(diǎn)Q的速度為12個(gè)單位長度/s或3.2個(gè)單位長度/s．

③由題意得：
Ⅰ）當(dāng)P點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)90°-60°=30°時(shí)，

30

a

=

28

b

，
則a：b=15：14；
Ⅱ）當(dāng)P點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)180°-60°+90°=210°時(shí)，

210

a

=

28

b

，
則a：b=15：2．
綜上所知a：b=15：14或15：2．

點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是一元一次方程的應(yīng)用，速度、路程、時(shí)間的關(guān)系．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．