Question

如圖所示，AB為⊙O的直徑，D為

BC

中點，連接BC交AD于E，DG⊥AB于G．
（1）求證：BD²=AD•DE；
（2）如果tanA=

3

4

，DG=8，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接BD，先由D為

BC

中點，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓周角定理得出

BD

=

CD

，∠DAB=∠DBE，又∠ADB公共，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△BDE∽△ADB，然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BD：AD=DE：BD，即為BD²=AD•DE；
（2）先在Rt△ADG中，由tanA=

3

4

，DG=8，求出AD=

40

3

，然后解Rt△ADB，求出BD=10，再根據(jù)（1）的結(jié)論BD²=AD•DE，即可求出DE的長．

解答：（1）證明：連接BD．
∵D為

BC

中點，
∴

BD

=

CD

，
∴∠DAB=∠DBE，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD²=AD•DE；

（2）解：∵DG⊥AB于G，
∴∠AGD=90°．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADG中，∵tanA=

3

4

，∴

DG

AG

=

3

4

．
設(shè)DG=3k，則AG=4k，AD=5k，∴

DG

AD

=

3

5

．
又∵DG=8，∴AD=

40

3

．
在Rt△ADB中，tanA=

BD

AD

=

3

4

，∴BD=

3

4

AD=10．
∵BD²=AD•DE，
∴DE=

BD2

AD

=

102

40 3

=

15

2

．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．