Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點．
（1）求證：△CDE∽△EAB；
（2）△CDE與△CEB有可能相似嗎？若相似，請給出證明過程；若不相似，請簡述理由．

Answer 1

分析：（1）過點C作CF⊥AB，垂足為F，由題意可得四邊形AFCD是矩形，從而可得到CD、AF、BF，CF、AD、DE的長，根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似可得到△CDE∽△EAB；
（2）利用勾股定理可求得CE、BE的長，利用三組對應邊的比相等的兩個三角形相似可得到△CDE∽△CEB．

解答：（1）證明：過點C作CF⊥AB，垂足為F，如圖．
∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴AD∥CF．
∵AB∥CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形．
又∵∠A=90°，∴平行四邊形AFCD是矩形．（1分）
∴AF=CD=1．
∴BF=AB-AF=AB-CD=2-1=1．（1分）
在Rt△CBF中，CF=

BC2-BF2

=

32-12

=

8

=

2×4

=2

2

，
∵E是AD的中點，AD=CF=2

2

，∴DE=EA=

2

．（1分）
∵

DE

AB

=

2

2

，

CD

AE

=

1

2

=

2

2

，∴

DE

AB

=

CD

AE

．（2分）
又∵∠CDE=∠EAB=90°，
∴△CDE∽△EAB．（1分）

（2）解：△CDE∽△CEB．（1分）
理由如下（本題方法很多，這里僅提供一種方法，其他方法請參照評分）．
在Rt△CDE中，CE=

CD2+DE2

=

12+( 2 )2

=

3

，（1分）
在Rt△CBF中，BE=

AE2+AB2

=

( 2 )2+22

=

6

．（1分）
∵

CE

CD

=

3

1

，

BE

DE

=

6

2

=

3

1

，

BC

CE

=

3

3

=

3

1

，（1分）
∴

CE

CD

=

BE

DE

=

BC

CE

．（1分）
∴△CDE∽△CEB．（1分）

點評：此題考查學生對相似三角形的判定方法的理解及運用能力，難易程度適中．