Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（2，0），B（0，2），與x軸交于另一點C．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）點P是拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的點，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為D，E，求四邊形ODPE的周長的最大值；

（3）如圖2，點P是拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的點，過點P作PN⊥x軸，垂足為N，交AB于M，連接PB，PA．設點P的橫坐標為t，當△ABP的面積等于△ABC面積的時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）；（2）四邊形ODPE周長最大值為6．（3）當t＝1時，△ABP的面積等于△ABC的面積的．

【解析】

（1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式，然后令y＝0可得到關于x的方程，解方程即可求得點C的坐標；（2）設點P的坐標為（t，﹣t2+t+2），用含t的式子表示出PE、PD的長度，然后可得到四邊形ODPE的周長與t的函數(shù)關系式，最后利用配方法可求得點P的橫坐標，以及四邊形ODPE周長的最大值即可；（3）先求得直線AB的解析式，設P點的坐標為（t，﹣t2+t+2），則點M的坐標為（t，﹣t+2），即可求得PM＝﹣t2+2t．由S△ABP＝S△PMB+S△PMA可得到△ABP的面積與t的函數(shù)關系式，然后，再根據，△ABP的面積等于△ABC的面積的列方程求解即可．

解：（1）將點A和點B的坐標代入y＝﹣x2+bx+c得：，

解得：b＝1，c＝2．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

令y＝0，則0＝﹣x2+x+2，解得：x＝2或x＝﹣1．

∴點C的坐標為（﹣1，0）．

（2）設點P的坐標為（t，﹣t2+t+2），則PE＝t，PD＝﹣t2+t+2，

∴四邊形ODPE的周長＝2（﹣t2+t+2+t）＝﹣2（t﹣1）2+6，

∴當P點坐標為（1，2）時，

∴四邊形ODPE周長最大值為6．

（3）∵A（2，0），B（0，2），

∴AB的解析式為y＝﹣x+2．

∵P點的橫坐標為t，

∴P點縱坐標為﹣t2+t+2．

又∵PN⊥x軸，

∴M點的坐標為（t，﹣t+2），

∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t．

∴S△ABP＝S△PMB+S△PMA＝PMON+PMAN＝PMOA＝﹣t2+2t．

又∵S△ABC＝ACOB＝×3×2＝3，

∴﹣t2+2t＝3×，解得：t1＝t2＝1．

∴當t＝1時，△ABP的面積等于△ABC的面積的．