Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF=

3

2

．

Answer 1

分析：證△AEF≌△ADF，推出AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，由勾股定理求出BE=3，求出CE=2，設(shè)CF=x，則EF=DF=4-x，在Rt△CFE中，由勾股定理得出方程（4-x）²=x²+2²，求出x即可．

解答：解：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC=5，AB=CD=4，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=∠D=90°，
在△AEF和△ADF中

∠D=∠AEF ∠DAF=∠EAF AF=AF

，
∴△AEF≌△ADF（AAS），
∴AE=AD=5，EF=DF，
在△ABE中，∠B=90°，AE=5，AB=4，由勾股定理得：BE=3，
∴CE=5-3=2，
設(shè)CF=x，則EF=DF=4-x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF²=CE²+CF²，
∴（4-x）²=x²+2²，
x=

3

2

，
CF=

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生推理和計(jì)算能力，用了方程思想．