Question

已知關(guān)于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0．
（1）當(dāng)k取何值時，方程有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=kx²-（4k+1）x+4的圖象與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k值并用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若（2）中的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．將拋物線向上平移n個單位，使平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），寫出n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）△=b²-4ac=[-（4k+1）]²-4×4k≥0，
整理得，（4k-1）²≥0，
∴對于k≠0的任何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，則kx²-（4k+1）x+4=0，
即（kx-1）（x-4）=0，
解得x₁=，x₂=4，
∵函數(shù)圖象與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，k為正整數(shù)，
∴k=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-5x+4，
∵y=x²-5x+4，
=x²-5x+-+4，
=（x-）²-，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）；

（3）由（2）得，點(diǎn)A（1，0），B（4，0），
令x=0，則y=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x=，
∴當(dāng)x=時，y=-+4=，
∵-（-）=+=，
∴當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部時，＜n＜．
分析：（1）利用根的判別式△≥0列式計(jì)算即可得解；
（2）令y=0，利用因式分解法解一元二次方程求解，再根據(jù)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，k為正整數(shù)確定出k的值，從而得到二次函數(shù)的解析式，然后配方成頂點(diǎn)式解析式，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后求出與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)確定出n的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及配方法，（1）要注意二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0，（2）根據(jù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)判斷出k的值是解題的關(guān)鍵，（3）求出直線BC與對稱軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．