Question

如圖，在直角坐標系中，矩形ABCD的四個頂點在正三角形OEF的邊上．已知正三角形OEF的邊長為2，記AB的長為x．
（1）求F點的坐標及過O、E、F三點的拋物線的解析式．
（2）記點C關(guān)于直線OF的對稱點為G，問x取什么值時，點G恰好落在y軸上．
（3）在條件（2）下，點P是過O、E、F三點的拋物線上的一個動點P，問是否存在點P，使點P、A、F、G四點構(gòu)成梯形？如存在，求出點P的坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點F作FH⊥OE于點H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出HO、HF的長度，然后即可寫出點F的坐標；再寫出點O、E的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）方法一根據(jù)軸對稱性表示出OB的長度，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式求出BC的長度，得到點C的坐標，然后求出OF與y軸的夾角為30°，再根據(jù)對稱性可得∠FOC=30°，從而得到OC與x軸的夾角為30°，根據(jù)30°角的正切值列式求解即可得到x的值；
方法二：先求出OF與y軸的夾角為30°，再根據(jù)軸對稱性可得OC與OF的夾角為30°，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點C是EF的中點，根據(jù)三角形的中位線定理可得CD=OE=1，再根據(jù)矩形的對邊相等即可得解；
（3）根據(jù)點C、G關(guān)于OF對稱可得OG=OC，然后求出點G的坐標，在求出OA的長度得到點A的坐標，然后分①GF∥PA時，點P是拋物線與x軸的交點，即為點O、E的坐標，②GA∥PF時，先求出直線GA的解析式，再根據(jù)互相平行的兩直線的解析式的k值相等求出直線PF的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標；③PG∥FA時，先求出AF的解析式，再根據(jù)互相平行的兩直線的解析式的k值相等求出直線PG的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可得方程沒有實數(shù)解．
解答：解：（1）如圖，過點F作FH⊥OE于點H，
∵正三角形OEF的邊長為2，
∴OH=×2=1，
FH=2•sin60°=2×=，
∴點F的坐標為F（1，），
又由圖形可得，點O（0，0），E（2，0），
設(shè)過O、E、F三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x；

（2）方法一：根據(jù)對稱性可得OB=OH+AB=1+x，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
所以，△FDC∽△FOE，
所以，=，
即=，
解得BC=-x，
所以，點C的坐標為（1+x，-x），
∵△OEF是等邊三角形，
∴OF與y軸的夾角為30°，
∵點C關(guān)于直線OF的對稱點G恰好落在y軸上，
∴OC與OF的夾角為30°，
∴直線OC與x軸的夾角為30，
tan30°==，
解得x=1；

方法二：∵△OEF是等邊三角形，
∴OF與y軸的夾角為30°，
∵點C關(guān)于直線OF的對稱點G恰好落在y軸上，
∴OC與OF的夾角為30°，
∵△OEF是等邊三角形，
∴點C是EF的中點，
∴CD是△OEF的中位線，
CD=OE=×2=1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，即x=1；

（3）存在．
理由如下：由（2）可知，OC=2•sin60°=2×=，
∵點C、G關(guān)于OF對稱，
∴OG=OC=，
∴點G的坐標為（0，），
由對稱性可得，OA=（OE-AB）=（2-1）=，
∴點A的坐標為（，0），
①當GF∥PA 時，∵F（1，），
∴GF∥x軸，
∴點P為拋物線與x軸的交點，
∴P₁（0，0），P₂（2，0）；
②當GA∥PF時，∵A（，0），G（0，），
∴直線GA的解析式為y=-2x+，
∴設(shè)直線PF的解析式為y=-2x+b，
-2×1+b=，
解得b=3，
所以，直線PF的解析式為y=-2x+3，
聯(lián)立，
解得，
所以，點P的坐標為P₃（3，-3）；
③當PG∥AF時，A（，0），F(xiàn)（1，），
設(shè)直線AF的解析式為y=mx+n，
則，
解得，
所以，直線AF的解析式為y=2x-，
所以，設(shè)直線PG的解析式為y=2x+，
聯(lián)立整理得，x²+1=0，
方程沒有實數(shù)解，
所以，點P不存在，
綜上得符合條件的點有3個，P₁（0，0），P₂（2，0），P₃（3，-3）．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，主要利用了等邊三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，梯形的兩底邊平行，（3）要注意根據(jù)底邊的不同分情況討論求解．