Question

已知關于x的一元二次方程x²+cx+a=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x²+ax+b=0的兩個根都大1，求a+b+c的值．

Answer 1

設方程x²+ax+b=0的兩個根為α，β，
∵方程有整數(shù)根，
設其中α，β為整數(shù)，且α≤β，
則方程x²+cx+a=0的兩根為α+1，β+1，
∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，（5分）
兩式相加，得αβ+2α+2β+1=0，
即（α+2）（β+2）=3，
∴

α+2=1 β+2=3

或

α+2=-3 β+2=-1.

（10分）
解得

α=-1 β=1

或

α=-5 β=-3.

又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，b=αβ=-1×1=-1，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2，
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，b=αβ=（-5）×（-3）=15，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6，
∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6，
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29，
故a+b+c=-3，或29．（20分）