Question

【題目】正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，其中OA、OC分別在x軸和y軸上，如圖①所示，直線l經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)P是直線l上的一點(diǎn)，當(dāng)△OPA的面積是3時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)如圖②，坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一點(diǎn)D(－1，2)，點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①請(qǐng)求出|BE＋DE|的最小值和此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②若將點(diǎn)D沿x軸翻折到x軸下方，直接寫出|BE－DE|的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）P(1，3)或P (－5，－3)；（2）①最小值為 ，E ；②最大值為，點(diǎn)E (2，4).

【解析】（1）如圖1中，求出直線l的解析式為y=x+2．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+2），由題意得×2×|m+2|=3，解方程即可；

（2）如圖2中，連接OD交直線l于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，此時(shí)|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即為最大值．求出直線OD的解析式，利用方程組求出等E坐標(biāo)即可；

（3）如圖3中，O與B關(guān)于直線l對(duì)稱，所以BE=OE，|BE-DE|=|OE-DE|．由兩邊之差小于第三邊知，當(dāng)點(diǎn)O，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，|OE-DE|的值最大，最大值為OD．求出直線OD的解析式，利用方程組求出交點(diǎn)E坐標(biāo)即可．

解：(1)如圖①，由題意知點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(－2，0)和(0，2)．

設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式y＝kx＋b(k≠0)，

其經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)和點(diǎn)C(0，2)，代入得 ，

解得 ，

∴直線l的解析式為y＝x＋2.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m＋2)，由題意得×2×|m＋2|＝3，

∴m＝1或－5.

∴P1(1，3)，P2 (－5，－3)．

(2)①如圖②，連接OD交直線l于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，

此時(shí)|BE＋DE|＝|OE＋DE|＝OD，OD即為最小值．

設(shè)OD所在直線為y＝k1x(k1≠0)，經(jīng)過點(diǎn)D(－1，2)，

∴k1＝－2，

∴直線OD的解析式為y＝－2x.

由，解得，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，2)，

∴由勾股定理可得OD＝.

即|BE＋DE|的最小值為.

②如圖③，∵O與B關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴BE＝OE，

∴|BE－DE|＝|OE－DE|.

由三角形的兩邊之差小于第三邊知，當(dāng)點(diǎn)O，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，|OE－DE|的值最大，最大值為OD.

∵D(－1，－2)，

∴直線OD的解析式為y＝2x，OD＝ ＝.

由解得，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，4)．

∴|BE－DE|的最大值為，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，4)．