Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交BC于D，交AB于點E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請證明你的結論；
（3）四邊形ACEF有可能是矩形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）ED是BC的垂直平分線，根據中垂線的性質：中垂線上的點線段兩個端點的距離相等，得；EB=EC．由等邊對等角得∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2與∠4互余，∠1與∠3互余．∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE．∴四邊形ACEF是平行四邊形．
（2）由于△ACE是等腰三角形，當∠1=60°時△ACE是等邊三角形，有AC=EC，有平行四邊形ACEF是菱形．
（3）當四邊形ACEF是矩形時，有∠2=90°，而∠2與∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四邊形ACEF不可能是矩形．
解答：（1）證明：∵ED是BC的垂直平分線，
∴EB=EC．
∴∠3=∠4．
∵∠ACB=90°，
∴∠2與∠4互余，∠1與∠3互余，
∴∠1=∠2．
∴AE=CE．
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．
∴AF=AE，
∴∠F=∠5，
∵FD⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥FE．
∴∠1=∠5．
∴∠1=∠2=∠F=∠5，
∴∠AEC=∠EAF．
∴AF∥CE．
∴四邊形ACEF是平行四邊形．

（2）解：當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．證明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=60°．
∴∠AEC=60°．
∴AC=EC．
∴平行四邊形ACEF是菱形．

（3）解：四邊形ACEF不可能是矩形．理由如下：
由（1）可知，∠2與∠3互余，
∠3≠0°，∴∠2≠90°．
∴四邊形ACEF不可能是矩形．
點評：本題利用了：（1）中垂線的性質，（2）等邊對等角和等角對等邊，（3）直角三角形的性質，（4）平行四邊形和判定和性質，（5）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，（6）矩形的性質．