Question

如圖N4­9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高為4.動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位：秒)．

(1)當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值；

(2)試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．

圖N4­9

Answer 1

解：(1)由題意知，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，如圖107，過D作DE∥AB交BC于E點(diǎn)，則四邊形ABED是平行四邊形．

圖107

∵AB∥DE，AB∥MN，∴DE∥MN.

∴＝.

∴＝.解得t＝.

(2)分三種情況討論：

①當(dāng)MN＝NC時(shí)，如圖108，作NF⊥BC交BC于F，則有MC＝2FC，

FC＝MC＝(10－2t)＝5－t，cosC＝＝.

又∵cosC＝＝.∴＝.

解得t＝.

   

圖108                  　圖109

②當(dāng)MN＝MC時(shí)，如圖109，過M作ME⊥CD于E.

則CE＝CN＝.

∵∠C＝∠C，∠MEN＝∠DHC，

∴△DHC∽△MEC.

∴＝，即解得t＝.

③當(dāng)MC＝CN時(shí)，

則10－2t＝t，解得t＝.

綜上所述，當(dāng)t＝、或時(shí)，△MNC為等腰三角形．