平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直線MN．過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF=2CE．當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．

解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，
證明：過B作BH⊥CE于點(diǎn)H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
圖3中，過點(diǎn)C作CG⊥BF，交BF延長線于點(diǎn)G，
∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．

分析：過B作BH⊥CE與點(diǎn)H，易證△ACE≌△CBH，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得AF+BF=2CE．
點(diǎn)評(píng)：正確作出垂線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，
3
）在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點(diǎn)，且OA：OB=3：1，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．直線EF交OC于點(diǎn)Q．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想；
（3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N．試問：精英家教網(wǎng)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，）在軸的正半軸上，A、B是軸上是兩點(diǎn)，且OA∶OB=3∶1，以OA、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.直線EF交OC于點(diǎn)Q.

(1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的猜想.

(3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N.試問：在軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，數(shù)學(xué)公式）在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點(diǎn)，且OA：OB=3：1，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．直線EF交OC于點(diǎn)Q．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想；
（3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N．試問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》（04）（解析版） 題型：解答題

（2004•襄陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，）在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點(diǎn)，且OA：OB=3：1，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．直線EF交OC于點(diǎn)Q．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想；
（3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N．試問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2004年湖北省襄樊市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（2004•襄陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，）在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點(diǎn)，且OA：OB=3：1，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．直線EF交OC于點(diǎn)Q．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想；
（3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N．試問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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