Question

如圖，銳角△ABC中，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，記△ADE的面積為S₁，△ABC的面積為S₂，則=（ ）

A．sinA
B．sin²A
C．cosA
D．cos²A

Answer 1

【答案】分析：如圖，連接BE．構(gòu)建直角△ABE，通過解該直角三角形求得cosA=；然后通過相似三角形△AED∽△ABC的對應(yīng)邊的比成比例知=；最后結(jié)合三角形的面積公式分別求得△ADE、△ABC的面積．
解答：解：如圖，連接BE．
∵BC為半圓的直徑，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=，
∵點(diǎn)D、B、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴=．
∵S₁=AE•AD•sinA，S₂=AB•AC•sinA，
===cos²A．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形等知識點(diǎn)．解答該題時，借用了圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對角互補(bǔ)的性質(zhì)．