Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0.

    (1)求證:不論k為何值,方程總有兩不相等實(shí)數(shù)根.

    (2)設(shè)x₁,x₂是方程的根,且 x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5,求k的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析(2)

【解析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系. （1）要保證方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就必須使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．

解：（1）已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0，

∴△=（-2k）²-4×（k²-2）=2k²+8，

∵2k²+8＞0恒成立，

∴不論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）∵x₁、x₂是方程的兩個(gè)根，

∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=k²-2，

∴x₁²-2kx₁+2x₁x₂=x₁²-（x₁+x₂）x₁+2x₁x₂=x₁x₂=k²-2=5，

解得k=±．