Question

（2008•福州）如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．
（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標(biāo)就可以求出．
（2）頂點(diǎn)為F的坐標(biāo)根據(jù)第一問(wèn)可以求得是（1，2），因而拋物線的解析式可以設(shè)為y=a（x-1）²+2，以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，應(yīng)分EF是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論．
當(dāng)EF是腰，EF=PF時(shí)，已知E、F點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出EF的長(zhǎng)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，n），根據(jù)勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐標(biāo)．
當(dāng)EF是腰，EF=EP時(shí)，可以判斷E到y(tǒng)軸的最短距離與EF的大小關(guān)系，只有當(dāng)EF大于E到y(tǒng)軸的距離，P才存在．
當(dāng)EF是底邊時(shí)，EP=FP，根據(jù)勾股定理就可以得到關(guān)于n的方程，就可以解得n的值．
（3）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．求出線段E′F′的長(zhǎng)度，就是四邊形MNFE的周長(zhǎng)的最小值．
解答：解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），其中n＞0，
∵頂點(diǎn)F（1，2），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+2（a≠0）．
①如圖1，
當(dāng)EF=PF時(shí)，EF²=PF²，
∴1²+（n-2）²=5．
解得n₁=0（舍去）；n₂=4．
∴P（0，4）．
∴4=a（0-1）²+2．
解得a=2．
∴拋物線的解析式為y=2（x-1）²+2
②如圖2，
當(dāng)EP=FP時(shí)，EP²=FP²，
∴（2-n）²+1=（1-n）²+9．
解得（舍去）
③當(dāng)EF=EP時(shí)，EP=，這種情況不存在．
綜上所述，符合條件的拋物線解析式是y=2（x-1）²+2．

（3）存在點(diǎn)M，N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最�。�
如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，
連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=．
又∵，
∴FN+MN+ME+EF=5+，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求線段的和最小的問(wèn)題基本的解決思路是根據(jù)對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題．