Question

已知在△ABC中，∠A＝45°，AB＝7，tanB＝，動點P、D分別在射線AB、AC上，且∠DPA＝∠ACB，設AP＝x，△PCD的面積為y．

(1)求△ABC的面積；

(2)如圖，當動點P、D分別在邊AB、AC上時，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)如果△PCD是以PD為腰的等腰三角形，求線段AP的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作CH⊥AB，垂足為點H．設CH＝m． 　　∵，∴　　(1分) 　　∵∠A＝45°，∴AH＝CH＝m．∴　　(1分) 　　∴m＝4　　(1分) 　　∴△ABC的面積等于　　(1分) 　　(2)∵AH＝CH＝4，∴． 　　∵∠DPA＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ABC　　(1分) 　　∴，即．∴　　(1分) 　　作PE⊥AC，垂足為點E． 　　∵∠A＝45°，AP＝x，∴　　(1分) 　　∴所求的函數(shù)解析式為，即　　(1分) 　　定義域為　　(1分) 　　(3)由△ADP∽△ABC，得，即． 　　∴　　(1分) 　　∵△PCD是以PD為腰的等腰三角形，∴有PD＝CD或PD＝PC． 　　(i)當點D在邊AC上時， 　　∵∠PDC是鈍角，只有PD＝CD． 　　∴．解得　　(1分) 　　(ii)當點D在邊AC的延長線上時， 　　，　　(1分) 　　如果PD＝CD，那么．解得x＝16　　(1分) 　　如果PD＝PC，那么． 　　解得，(不符合題意，舍去)　　(1分) 　　綜上所述，AP的長為，或16，或32．