Question

如圖，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝3，AB＝4．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）連接BG，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠OBD=∠ODB，再由AC=BC可得∠OBD=∠A，即可得到∠ODB=∠A，從而可得OD//AC，再結(jié)合DF⊥AC即可證得結(jié)論；(2)

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠OBD=∠ODB，再由AC=BC可得∠OBD=∠A，即可得到∠ODB=∠A，從而可得OD//AC，再結(jié)合DF⊥AC即可證得結(jié)論；

（2）設(shè)CG=x，BC=3，CG=x， AG=3-x，AB=4，再根據(jù)勾股定理即可列方程求解.

（1）連接OD

∵OB=OD 

∴∠OBD=∠ODB

∵AC=BC 

∴∠OBD=∠A

∴∠ODB=∠A

∴OD//AC

∴∠EDO=∠EFC=90°

∴EF為切線；

(2) 設(shè)CG=x，BC=3，CG=x， AG=3-x，AB=4

由可得，解得x=，

則sin∠GBC=.

考點：圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理

點評：在證明切線的問題中，一般先連接切點與圓心，再證垂直.