Question

（2010•泰州）如圖，拋物線y=-x²+c與x軸交于點A、B，且經過點D（-）
（1）求c；
（2）若點C為拋物線上一點，且直線AC把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，試說明AC平分BD，且求出直線AC的解析式；
（3）x軸上方的拋物線y=-x²+c上是否存在兩點P、Q，滿足Rt△AQP全等于Rt△ABP？若存在，求出P、Q兩點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將D點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數c的值；
（2）若△ACD與△ABC的面積相等，則兩個三角形中，AC邊上的高相等，設AC、BD的交點為E，若以CE為底，AC邊上的高為高，可證得△CED和△CEB的面積相等；這兩個三角形中，若以DE、BE為底，則兩個三角形同高，那么DE=BE，由此可證得AC平分BD；
由于E是BD的中點，根據B、D的坐標，即可求出E點的坐標，根據A、E的坐標即可用待定系數法求出直線AC的解析式；
（3）由于△ABP是直角三角形，且P點在x軸上方的拋物線上，那么P必為直角頂點，即∠APB=90°，若Rt△AQP全等于Rt△ABP，且Q點在x軸上方的拋物線上，那么∠APQ也必為直角，由此可得B、P、Q三點共線，而一條直線與拋物線的交點最多有兩個，顯然這種情況不成立，所以不存在符合條件的P、Q點．
解答：解：（1）因為拋物線經過D（-），則有：
-×3+c=，解得c=6；

（2）設AC與BD的交點為E，過D作DM⊥AC于M，過B作BN⊥AC于N；
∵S_△ADC=S_△ACB，
∴AC•DM=AC•BN，即DM=BN；
∴CE•DM=CE•BN，
即S_△CED=S_△BEC（1）；
設△BCD中，BD邊上的高為h，由（1）得：
DE•h=BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；
易知：A（-2，0），B（2，0），D（-，），
由于E是BD的中點，則E（，）；
設直線AC的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得；
∴直線AC的解析式為y=x+；

（3）由于P、Q都在x軸上方的拋物線上，若△APB是直角三角形，則∠APB=90°；
若Rt△AQP全等于Rt△ABP，則AB=AQ，∠APQ=∠APB，即B、P、Q三點共線；
顯然一條直線不可能與一個拋物線有3個交點，
故不存在符合條件的P、Q點．
點評：此題主要考查了一次函數與二次函數解析式的確定、三角形面積的求法、以及全等三角形和直角三角形的判定和性質．