Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D．若∠C=28°，則∠CDA=________度．

Answer 1

121
分析：連接OD，把要求的∠CDA分成了兩個(gè)角∠ODC與∠ODA，根據(jù)已知的CD與⊙O相切于點(diǎn)D，利用切線的性質(zhì)可求出∠ODC等于90°，再根據(jù)已知的∠C的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可得到∠DOC的度數(shù)，又根據(jù)圓的兩半徑相等得到OA=OD，根據(jù)等角對(duì)等邊得到∠OAD=∠ODA，利用外角的性質(zhì)可得到這兩個(gè)角的和等于∠DOC，進(jìn)而求出∠ODA的度數(shù)，最后用求出的∠ODC與∠ODA的和即可得到∠CDA的度數(shù)．
解答：解：連接OD．
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴∠ODC=90°，又∠C=28°，
∴∠DOC=62°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又因?yàn)椤螪OC是△AOD的外角，
∴∠DOC=∠OAD+∠ODA=62°，
∴∠OAD=∠ODA=31°，
∴∠CDA=∠ODC+∠ODA=90°+31°=121°．
故答案為：121．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．該題屬于幾何綜合題，在解題時(shí)應(yīng)注意把代數(shù)與幾何圖形的性質(zhì)及計(jì)算與證明有機(jī)融合起來(lái)，進(jìn)行分析、推理，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．