Question

已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC方向以每秒2cm的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA以每秒1cm的速度向點(diǎn)A方向移動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)停止移動(dòng)），PQ交BD于點(diǎn)E．假設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為x（秒），△BPE的面積為y（cm²）．
（1）求證：在點(diǎn)P、Q的移動(dòng)過(guò)程中，線段BE的長(zhǎng)度保持不變；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）如果CE=CP，求x的值．

Answer 1

（1）證明：∵DQ∥BP，
∴．
∵BP=2x，DQ=x，
∴．
∴．
∵∠A=90°，AB=6，AD=9，
∴．
∴，
即在點(diǎn)P和點(diǎn)Q的移動(dòng)過(guò)程中，線段BE的長(zhǎng)度保持不變．

（2）解：作EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，得EH∥CD．
∴．
∴EH=4．
∴，
即所求的函數(shù)解析式為y=4x．
定義域?yàn)?＜x≤9．

（3）∵EH∥CD，
∴．
∴CH=3．
∴CE=5．
（i）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，9-2x=5．解得x=2．
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，2x-9=5．解得x=7．
分析：（1）由DQ∥BP，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得．然后由勾股定理即可求得BE的長(zhǎng)，即可得在點(diǎn)P和點(diǎn)Q的移動(dòng)過(guò)程中，線段BE的長(zhǎng)度保持不變；
（2）首先作EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，得EH∥CD．即可得，繼而求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）由EH∥CD，可得，則可求得CH與CE的長(zhǎng)，再分別從當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線分線段成比例定理，一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次方程的解法等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．