已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由。

 

【答案】

（1）所求拋物線的表達式為:  （2）

（3）為等腰三角形，理由點E和點B關(guān)于直線OC軸對稱，所以CE=CB

【解析】

試題分析：（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8，

由題意得:A（-6，0），C（0，8），B（2，0）

∵點C（0，8）在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上，∴c=8，

將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式，得，

解得       

∴所求拋物線的表達式為:    

(2)由 A（-6，0），C（0，8），B（2，0）得：AB=8，OC=8，OA=6，

∵AE="m," ∴BE="8-m."   

在Rt △AOC中，由勾股定理得：

  

設(shè)中BE邊上的高為h.

∵EF//AC

∽

,即，  

(3) 由（2）知，S存在最大值，最大值為8平方單位， 

此時，m=4，所以點E坐標(biāo)為（-2,0）， 

點E和點B關(guān)于直線OC軸對稱；為等腰三角形。

考點：拋物線，等腰三角形，相似三角形

點評：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)，熟悉等腰三角形的判定方法，會判定兩個三角形相似

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)經(jīng)過點B(12，0)和C(0，－6)，對稱軸為x＝2．

(1)求該拋物線的解析式．

(2)點D在線段AB上且AD＝AC，若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一個動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t(秒)和點Q的運動速度；若存在，請說明理由．

(3)在(2)的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐

標(biāo)；若存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．
【小題1】填空：拋物線的對稱軸為直線x＝______，拋物線與x軸的另一個交點D的坐標(biāo)為______；
【小題2】求該拋物線的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為x＝1，且拋物線經(jīng)過A（—1，0）、C（0，—3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線的對稱軸x＝1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸x＝1上的一動點，求使∠PCB＝90°的點P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012屆山東鄒城北宿中學(xué)九年級3月月考數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

已知拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1，0)、C(0，4)兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D(m，m＋1)在第一象限的拋物線上, 求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)BD，若點P為拋物線上一點，且∠DBP＝45°，求點P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年浙江省嵊州市九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。設(shè)拋物線的頂點為D，求解下列問題：

1.（1）求拋物線的解析式和D點的坐標(biāo)；

2.（2）過點D作DF∥軸，交直線BC于點F，求線段DF的長，并求△BCD的面積；

3.（3）能否在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形？若能找到，試寫出Q點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由。

 

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