附加題,學(xué)完“幾何的回顧”一章后,老師布置了一道思考題:
如圖,點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上,且BM=CN,AM,BN交于點Q.求證:∠BQM=60度.
(1)請你完成這道思考題;
(2)做完(1)后,同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進行了反思,提出了許多問題,如:
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換,得到的是否仍是真命題?
②若將題中的點M,N分別移動到BC,CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若將題中的條件“點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上”改為“點M,N分別在正方形ABCD的BC,CD邊上”,是否仍能得到∠BQM=60°?…
請你作出判斷,在下列橫線上填寫“是”或“否”:①______;②______;③______.并對②,③的判斷,選擇一個給出證明.

【答案】分析:(1)在△ABM和△BCN中,
根據(jù)判定△ABM≌△BCN,
所以∠BAM=∠CBN,
則∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60度.
(2)②同樣還是根據(jù)條件判定△ACM≌△BAN,
得到∠AMC=∠BNA,所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°,
即∠BQM=60°;
③同上,證明Rt△ABM≌Rt△BCN,
得到∠AMB=∠BNC,
所以,∠QBM+∠QMB=90°,∠BQM=90°,
即∠BQM≠60°.
解答:(1)證明:在△ABM和△BCN中,
,
∴△ABM≌△BCN(SAS),
∴∠BAM=∠CBN,
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°.

(2)①是;②是;③否.
②的證明:如圖,
在△ACM和△BAN中,
,
∴△ACM≌△BAN(SAS),
∴∠AMC=∠BNA,
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°,
∴∠BQM=60°.
③的證明:如圖,
在Rt△ABM和Rt△BCN中,

∴Rt△ABM≌Rt△BCN(SAS),
∴∠AMB=∠BNC.
又∵∠NBM+∠BNC=90°,
∴∠QBM+∠QMB=90°,
∴∠BQM=90°,即∠BQM≠60°.
點評:主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì);判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、HL.判定兩個三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.
練習(xí)冊系列答案
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(1)請你完成這道思考題;
(2)做完(1)后,同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進行了反思,提出了許多問題,如:
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換,得到的是否仍是真命題?
②若將題中的點M,N分別移動到BC,CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若將題中的條件“點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上”改為“點M,N分別在正方形ABCD的BC,CD邊上”,是否仍能得到∠BQM=60°?…
請你作出判斷,在下列橫線上填寫“是”或“否”:①
 
;②精英家教網(wǎng)
 
;③
 
.并對②,③的判斷,選擇一個給出證明.

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②若將題中的點M,N分別移動到BC,CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若將題中的條件“點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上”改為“點M,N分別在正方形ABCD的BC,CD邊上”,是否仍能得到∠BQM=60°?…
請你作出判斷,在下列橫線上填寫“是”或“否”:①______;②______;③______.并對②,③的判斷,選擇一個給出證明.

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②若將題中的點M,N分別移動到BC,CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?
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