Question

（2013•常熟市模擬）如圖，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，連結(jié)AB交y軸于點(diǎn)E，且S△BOE=

2

3

S△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線平行于x軸交拋物線于另一點(diǎn)C．問在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△POC與△OBE相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（3）拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y軸，點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，試探索：當(dāng)S_△AOB＜S_△QOD＜S_△BOC時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求得反比例函數(shù)的解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
（2）根據(jù)△POC與△OBE相似，得到OP=4或8，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）求得點(diǎn)Q、點(diǎn)E、點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而表示出S_△AOB=3，S_△QOD=

3

2

|t|，S_△BOC=8，得到3＜

3

2

|t|＜8，從而求得t的取值范圍；

解答：解：（1）點(diǎn)A（1，4）在雙曲線y=

k

x

上，得k=4
∵S_△BOE=

2

3

S_△AOB，
∴|x_A|：|x_B|=1：2
∴x_B=-2，
∵點(diǎn)B在雙曲線y=

k

x

上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2）
∵點(diǎn)A，B都在y=ax²+bx（a＞0）上，
∴

a+b=4 4a-2b=-2

解得：

a=1 b=3

所求的二次函數(shù)的解析式為：y=x²+3x；

（2）∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，4），若點(diǎn)P在y軸的正半軸，則∠POC=45°，不符合題意．
所以點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，則∠POC=45°
此時(shí)有∠POC=∠BOE=135°，
所以

OP

OC

=

OE

OB

或

OP

OC

=

OB

OE

時(shí)，
△POC與△OBE相似
∴OP=4或8．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-4）或（0，-8）；

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，t）
∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，4），B（-2，-2）
∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2
∴E（0，2）
由y=x²+3x可知點(diǎn)D（-3，0）．
∵S_△AOB=3，S_△QOD=

3

2

|t|，S_△BOC=8
∴3＜

3

2

|t|＜8
當(dāng)t≥0時(shí)，2＜t＜

16

3

當(dāng)t＜0時(shí)，-

16

3

＜t＜-2
綜上：2＜t＜

16

3

或-

16

3

＜t＜-2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題目，第一問的解答關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法的運(yùn)用，求解第二問需要我們會(huì)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)，涉及到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，此類綜合題目，難度較大，注意逐步分析．