Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＞x₂，與y軸交于點C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²-2x-8=0的兩個根．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點P是線段AB上的動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
（3）探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q，使△QBC成為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先通過解方程求出A，B兩點的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B，C三點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）本題要通過求△CPE的面積與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式而后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求△CPE的面積的最大值以及對應(yīng)的P的坐標(biāo)．△CPE的面積無法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面積差來求，設(shè)出P點的坐標(biāo)，即可表示出BP的長，可通過相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP邊上的高，然后根據(jù)三角形面積計算方法即可得出△CEP的面積，然后根據(jù)上面分析的步驟即可求出所求的值．
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①Q(mào)C=BC，那么Q點的縱坐標(biāo)就是C點的縱坐標(biāo)減去或加上BC的長．由此可得出Q點的坐標(biāo)．
②QB=BC，此時Q，C關(guān)于x軸對稱，據(jù)此可求出Q點的坐標(biāo)．
③QB=QC，Q點在BC的垂直平分線上，可通過相似三角形來求出QC的長，進(jìn)而求出Q點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵x²-2x-8=0，∴（x-4）（x+2）=0．
∴x₁=4，x₂=-2．
∴A（4，0），B（-2，0）．
又∵拋物線經(jīng)過點A、B、C，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

c=4 16a+4b+c=0 4a-2b+c=0

．
∴

a=- 1 2 b=1 c=4

．
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+x+4．

（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G．
∵點B坐標(biāo)為（-2，0），點A坐標(biāo)（4，0），
∴AB=6，BP=m+2．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC．
∴

BP

AB

=

EG

CO

．
∴

EG

4

=

m+2

6

∴EG=

2m+4

3

．
∴S_△CPE=S_△CBP-S_△EBP
=

1

2

BP•CO-

1

2

BP•EG
∴S_△CPE=

1

2

（m+2）（4-

2m+4

3

）
=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

．
∴S_△CPE=-

1

3

（m-1）²+3．
又∵-2≤m≤4，
∴當(dāng)m=1時，S_△CPE有最大值3．
此時P點的坐標(biāo)為（1，0）．

（3）存在Q點，
∵BC=2

5

，
設(shè)Q（1，n），
當(dāng)BQ=CQ時，
則3²+n²=1²+（n-4）²，
解得：n=1，
即Q₁（1，1）；
當(dāng)BC=BQ=2

5

時，9+n²=20，
解得：n=±

11

，
∴Q₂（1，

11

），Q₃（1，-

11

）；
當(dāng)BC=CQ=2

5

時，1+（n-4）²=20，
解得：n=4±

19

，
∴Q₄（1，4+

19

），Q₅（1，4-

19

）．
綜上可得：坐標(biāo)為Q₁（1，1），Q₂（1，

11

），Q₃（1，-

11

），Q₄（1，4+

19

），Q₅（1，4-

19

）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的求法、三角形相似、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等知識點，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．