Question

如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸的負(fù)半軸上，且OD=10，OB=8，將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C恰好與x軸上的點A重合
（1）直接寫出點A、B的坐標(biāo)：A（______，______）、B（______，______）；
（2）若拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，則這條拋物線的解析式是______；
（3）若點M是直線AB上方拋物線上的一個動點，作MN⊥x軸于點N，問是否存在點M，使△AMN與△ACD相似？若存在，求出點M的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（4）當(dāng)≤x≤7時，在拋物線上存在點P，使△ABP得面積最大，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OB長，能直接得到點B的坐標(biāo)；在Rt△OAB中，已知OB、BA（即BC長）長，由勾股定理可得到OA的長，即可確定點A的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用待定系數(shù)法能求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)OA、OB以及AD、CD的長，不難發(fā)現(xiàn)∠BAO=∠CAD，那么若題干提到的兩個三角形若相似，必須滿足夾這對相等角的兩組對應(yīng)邊成比例，所以分兩種情況，列比例式求解即可．
（4）此題涉及的情況較多，大致分三種情況：點P在x軸下方（分左右兩側(cè)共兩種情況）、點P在x軸上方；可過點P作x軸的垂線，通過規(guī)則圖形間的面積和差關(guān)系得出關(guān)于△ABP的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)的性質(zhì)得到△ABP的面積最大值．
解答：解：（1）由OB=8，得：B（0，-8）．
∵BA由BC旋轉(zhuǎn)所得，∴BA=BC=10；
在Rt△BAO中，OB=8，BA=10，則：OA==6，即：A（6，0）．
∴A（6，0）、B（0，-8）．

（2）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，則：
，
解得
故這條拋物線的解析式：y=-x²+x-8．

（3）存在．
設(shè)M（m，-m²+m-8），則N（m，0），MN=|-m²+m-8|，NA=6-m，又DA=4，CD=8；
①若點M在N上方，=，則△AMN∽△ACD；
∴=，即 m²-16m+60=0，解得 m=6或m=10．
與點M是直線AB上方拋物線上的一個動點不符．
∴此時不存在點M，使△AMN與△ACD相似．
②若點M在點N下方，=，則△AMN∽△ACD；
∴=，即 2m²-17m+30=0，解得 m=或m=6；
當(dāng)m=時符合條件；
∴此時存在點M（，-），使△AMN與△ACD相似．
綜上所述，存在點M（，-），使得△AMN與△ACD相似．

（4）設(shè)P（p，-p²+p-8），在y=-x²+x-8中，令y=0，得x=4或x=6；
∴≤x≤7分為≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三個區(qū)間討論：
①如圖，當(dāng)≤x＜4時，過點P作PH⊥x軸于點H，則OH=p，HA=6-p，PH=p²-p+8；
∴S_△ABP=S_△OAB-S_梯形OBPH-S_△APH
=•6•8-•（p²-p+8）•p-•（6-p）•（p²-p+8）
=-p²+6p=-（p-3）²+9
∴當(dāng)≤x＜4時，S_△ABP隨p的增大而減�。�
∴當(dāng)x=時，S_△ABP取最大值，且最大值為．
②如圖，當(dāng)4≤x＜6時，過點P作PH⊥BC于點H，過點A作AG⊥BC于點G；
則BH=p，HG=6-p，PH=-p²+p-8+8=-p²+p．
∴S_△ABP=S_△BPH+S_梯形PHGA-S_△ABG
=•（-p²+p）•p+•（-p²+p+8）•（6-p）-•6•8
=-p²+6p=-（p-3）²+9
∴當(dāng)4≤x＜6時，S_△ABP隨p的增大而減小；
∴當(dāng)x=4時，S_△ABP取得最大值，且最大值為8．
③如圖，當(dāng)6≤x≤7時，過點P作PH⊥x軸于點H；則OH=p，HA=p-6，PH=p²-p+8．
∴S_△ABP=S_梯形OBPH-S_△OAB-S_△APH
=•（p²-p+8）•p-•6•8-•（p-6）•（p²-p+8）
=p²-6p=（p-3）²-9
∴當(dāng)6≤x≤7時，S_△ABP隨p的增大而增大；
∴當(dāng)x=7時，S_△ABP取得最大值，最大值為7；
綜上所述，當(dāng)x=時，S_△ABP取得最大值，最大值為．

點評：該題主要考查了矩形的性質(zhì)、函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等重要知識；后兩個小題涉及了多種情況，容易出現(xiàn)漏解的情況，是本題易錯的地方．