Question

（2013•同安區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形OABC的兩邊分別在x 軸和y軸上，直線L經(jīng)過點(diǎn)O并將正方形分為兩部分，它們的面積之比為m （m＜1）．
（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，求直線L與正方形相交的另一交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若直線L的解析式為y=kx且k=m+1，直線L與正方形的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)P在線段OE上（不含兩端點(diǎn)），記W=-

S△PAB

S△POA

，求W的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)直線L與BC相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)D（a，2），則S_△DOC=a，S_{四邊形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a，再利用m=

1

2

時(shí)求出a的值，再利用對(duì)稱性得出另一點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用已知得出點(diǎn)E在BC上，設(shè)為（b，2），得出m與b的關(guān)系，進(jìn)而得出m的值，得出D，E重合，由W=-

S△PAB

S△POA

，求出W的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)直線L與BC相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)D（a，2），則
S_△DOC=a，S_{四邊形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a
∵

S△ODC

S四邊形OABD

=

a

4-a

=

1

2

∴a=

4

3

，即D（

4

3

，2），
當(dāng)直線L與BC相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)D′，
依據(jù)正方形對(duì)稱性可得D′點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，

4

3

）；

（2）如圖2，
∵m＞0，k=m+1
∴k＞1，
∵y=kx
∴k=

y

x

＞1即y＞x
故點(diǎn)E在BC上，設(shè)為（b，2），
∴2=k•b，S_△EOC=b．
∴k=

2

b

，則

2

b

=m+1，
∴m=

2-b

b

，
∵

S△OEC

S四邊形OABE

=m，
∴

b

4-b

=

2-b

b

，
解得：b=

4

3

，
∴4-b=

8

3

，
∴m=

2- 4 3

4 3

=

1

2

，
即E與D重合．此時(shí)直線L的解析式為y=

3

2

x．
設(shè)P（c，d），則d=

3

2

c(0＜c＜

4

3

)，
W=-

S△PAB

S△POA

=-

2-c

d

=

c-2

3 2 c

=

2

3

(1-

2

c

)，
∵0＜c＜

4

3

∴-

2

c

＜-

3

2

，
∴

2

3

(1-

2

c

)＜-

1

3

即W＜-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及正方形的性質(zhì)和一次函數(shù)解析式求法和不等式的應(yīng)用，利用面積關(guān)系得出m的值是解題關(guān)鍵．