Question

已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中點O．
（1）若點G為線段AB上一點，且FG=4，CD=3，GC=7，過O點作OH⊥GC于H，試證：OH=OF；
（2）求證：AB+CD=2BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OG．根據(jù)AAS可以證明△ODC≌△OFA，得AF=CD=3，則AG=7=CG．根據(jù)等腰三角形的三線合一，得OG為∠AGC的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明；
（2）過D作DM∥AC交BA的延長線于M，則四邊形CDMA為平行四邊形，得DM=AC，CD=AM，從而得到DMB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明AM+AB=2BF；再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可證明．
解答：證明：（1）連接OG．
∵O為DF中點，
∴DO=OF，
又∵AB∥CD且DF⊥AB，
∴∠ODC=∠OFA．
∴在△ODC和△OFA中，
∴△ODC≌△OFA．
∴CD=AF=3．
又∵FG=4，
∴AG=AF+FG=7=CG．
即：AG=CG．
又∵△ODC≌△OFA，
∴OA=OC．
∵AG=CG，
∴OG為∠AGC的角平分線．
∵OF⊥AG，OH⊥CG，
∴OF=OH．

（2）過D作DM∥AC交BA的延長線于M．
∵梯形ABCD中，AD=BC，
∴BD=AC．
又∵CD∥AM，DM∥AC，
∴四邊形CDMA為平行四邊形．
∴DM=AC，CD=AM．
∵MD∥AC，
又∵AC⊥BD，且AC=BD，
∴DM⊥BD，DM=BD，
∴△DMB為等腰直角三角形．
又∵DF⊥BM，
∴DF=BF．
∴BM=2DF=2BF
∴AM+AB=2BF．
∵CD=AM，
∴AB+CD=2BF．
∵AC=BD=AB，
∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．
∴BE=BF．
∵AB+CD=2BF，
∴AB+CD=2BE．
點評：此題綜合運用了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．