Question

如圖，已知點A的坐標是（-1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C三點作拋物線．
（1）求點C的坐標及拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，求點D的坐標；并直接寫出直線BC、直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B兩點的坐標即可得出OA、OB的長，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長，即可得出C點的坐標．然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）本題的關鍵是得出D點的坐標，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標為（4，-5）．根據B、D兩點的坐標即可用待定系數法求出直線BD的解析式；
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①過D作DP∥BC，交D點右側的拋物線于P，此時∠PDB=∠CBD，可先用待定系數法求出直線BC的解析式，然后根據BC與DP平行，那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同，因此可根據D的坐標求出DP的解析式，然后聯(lián)立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標，然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點．
②同①的思路類似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點N，使BN=BM．可通過證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線DN的解析式，進而可求出其與拋物線的交點即P點的坐標．綜上所述可求出符合條件的P點的值．

解答：解：（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴

1

OC

=

OC

9

，
解得OC=3（負值舍去）．
∴C（0，-3），
故設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=

1

3

，
∴二次函數的解析式為y=

1

3

（x+1）（x-9），
即y=

1

3

x²-

8

3

x-3．

（2）∵AB為O′的直徑，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，
∴∠BCD=

1

2

∠BCE=

1

2

×90°=45°，
連接O′D交BC于點M，
則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=

1

2

AB=5．
∴O′D⊥x軸
∴D（4，-5）．
∴設直線BD的解析式為y=kx+b，
∴

9k+b=0 4k+b=-5

，
解得

k=1 b=-9

∴直線BD的解析式為y=x-9．
∵C（0，-3），
設直線BC的解析式為：y=ax+b，
∴

b=-3 9a+b=0

，
解得：

b=-3 a= 1 3

，
∴直線BC的解析式為：y=

1

3

x-3．


（3）假設在拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：設射線DP交⊙O′于點Q，則

BQ

=

CD

．
分兩種情況（如圖所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉90°，使點D與點B重合，則點C與點Q₁重合，
因此，點Q₁（7，-4）符合

BQ

=

CD

，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系數法可求出直線DQ₁解析式為y=

1

3

x-

19

3

．
解方程組

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+ 41 6

∴點P₁坐標為（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），坐標為（

9- 41

2

，

-29- 41

6

）不符合題意，舍去．
②∵Q₁（7，-4），
∴點Q₁關于x軸對稱的點的坐標為Q₂（7，4）也符合

BQ

=

CD

．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系數法可求出直線DQ₂解析式為y=3x-17．
解方程組

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，
即

x2=14 y2=25

∴點P₂坐標為（14，25），坐標為（3，-8）不符合題意，舍去．
∴符合條件的點P有兩個：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．
解法二：分兩種情況（如圖所示）：
①當DP₁∥CB時，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系數法可求出直線BC解析式為y=

1

3

x-3．
又∵DP₁∥CB，
∴設直線DP₁的解析式為y=

1

3

x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-

19

3

，
∴直線DP₁解析式為y=

1

3

x-

19

3

．
解方程組

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+ 41 6

∴點P₁坐標為（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

）或（

9- 41

2

，

-29- 41

2

）（不符合題意舍去）．
②在線段O′B上取一點N，使BN=DM時，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直線BC解析式為y=

1

3

x-3．
取x=4，得y=-

5

3

，
∴M（4，-

5

3

），
∴O′N=O′M=

5

3

，
∴N（

17

3

，0），
又∵D（4，-5），
∴直線DN解析式為y=3x-17．
解方程組

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，

x2=14 y2=25

∴點P₂坐標為（14，25），坐標為（3，-8）不符合題意，舍去．
∴符合條件的點P有兩個：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．
解法三：分兩種情況（如圖所示）：
①求點P₁坐標同解法二．
②過C點作BD的平行線，交圓O′于G，
此時，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）題知直線BD的解析式為y=x-9，
又∵C（0，-3）
∴可求得CG的解析式為y=x-3，
設G（m，m-3），作GH⊥x軸交于x軸與H，
連接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，-5）與G（7，4）可得，
DG的解析式為y=3x-17，
解方程組

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，
即

x2=14 y2=25

∴點P₂坐標為（14，25），坐標為（3，-8）不符合題意舍去．
∴符合條件的點P有兩個：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似及全等、探究角相等的構成情況等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．