Question

【題目】閱讀下面材料：

小天在學習銳角三角函數(shù)中遇到這樣一個問題：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，則tan22.5°=

小天根據(jù)學習幾何的經驗，先畫出了幾何圖形（如圖1），他發(fā)現(xiàn)22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若構造有特殊角的直角三角形，則可能解決這個問題．于是小天嘗試著在CB邊上截取CD=CA，連接AD（如圖2），通過構造有特殊角（45°）的直角三角形，經過推理和計算使問題得到解決．

請回答：tan22.5°= ．

參考小天思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，請借助△ABC，構造出15°的角，并求出該角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；﹣1；（2）2﹣．

【解析】

試題分析：如圖2，設CD=CA=a，△ACD為等腰直角三角形，則AD=a，易得∠DAB=∠B=22.5°，所以DB=DA=a，再在Rt△ABC中，利用正切定義可計算出tanB=﹣1，即tan22.5°=﹣1；

如圖3，延長BA到D，使AD=AB，則AB=AD=AC，則∠D=∠ACD，利用三角形外角性質易得∠D=15°，作CH⊥AB于H，設CH=x，利用含30度三邊的關系得到AC=2x，AH=x，則AD=AC=2x，DH=AD+AH=（2+）x，然后在Rt△DCH中，利用正切的定義可計算出tanD=2﹣，即tan15°=2﹣．

試題解析：如圖2，設CD=CA=a，則AD=a，

∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，

∴∠DAB=22.5°，

∴∠DAB=∠B，

∴DB=DA=a，

∴BC=BD+CD=（+1）a，

在Rt△ABC中，tanB=，

即tan22.5°=﹣1；

如圖3，延長BA到D，使AD=AB，則AB=AD=AC，

∴∠D=∠ACD，

∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°，

∴∠D=15°，

作CH⊥AB于H，設CH=x，則AC=2x，AH=x，

∴AD=AC=2x，

∴DH=AD+AH=（2+）x，

在Rt△DCH中，tanD=，

即tan15°=2﹣．