Question

【題目】閱讀下面材料：

小天在學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，則tan22.5°=

小天根據(jù)學(xué)習(xí)幾何的經(jīng)驗(yàn)，先畫(huà)出了幾何圖形（如圖1），他發(fā)現(xiàn)22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若構(gòu)造有特殊角的直角三角形，則可能解決這個(gè)問(wèn)題．于是小天嘗試著在CB邊上截取CD=CA，連接AD（如圖2），通過(guò)構(gòu)造有特殊角（45°）的直角三角形，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．

請(qǐng)回答：tan22.5°= ．

參考小天思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：

如圖3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，請(qǐng)借助△ABC，構(gòu)造出15°的角，并求出該角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；﹣1；（2）2﹣．

【解析】

試題分析：如圖2，設(shè)CD=CA=a，△ACD為等腰直角三角形，則AD=a，易得∠DAB=∠B=22.5°，所以DB=DA=a，再在Rt△ABC中，利用正切定義可計(jì)算出tanB=﹣1，即tan22.5°=﹣1；

如圖3，延長(zhǎng)BA到D，使AD=AB，則AB=AD=AC，則∠D=∠ACD，利用三角形外角性質(zhì)易得∠D=15°，作CH⊥AB于H，設(shè)CH=x，利用含30度三邊的關(guān)系得到AC=2x，AH=x，則AD=AC=2x，DH=AD+AH=（2+）x，然后在Rt△DCH中，利用正切的定義可計(jì)算出tanD=2﹣，即tan15°=2﹣．

試題解析：如圖2，設(shè)CD=CA=a，則AD=a，

∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，

∴∠DAB=22.5°，

∴∠DAB=∠B，

∴DB=DA=a，

∴BC=BD+CD=（+1）a，

在Rt△ABC中，tanB=，

即tan22.5°=﹣1；

如圖3，延長(zhǎng)BA到D，使AD=AB，則AB=AD=AC，

∴∠D=∠ACD，

∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°，

∴∠D=15°，

作CH⊥AB于H，設(shè)CH=x，則AC=2x，AH=x，

∴AD=AC=2x，

∴DH=AD+AH=（2+）x，

在Rt△DCH中，tanD=，

即tan15°=2﹣．