Question

如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點(diǎn)，以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x²﹣2x+3

（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）

（3）當(dāng)t為秒或2秒或3秒或秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形。

【解析】

試題分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=﹣x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。

∵y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）。

將A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x²+bx+c，得

，解得。

∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3。

（2）設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣m²﹣2m+3），運(yùn)用配方法求出拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG﹣S_△EFG=3，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)。

如圖1，設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣m²﹣2m+3），

則m＜0，﹣m²﹣2m+3＜0。

∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴對(duì)稱軸為直線x=﹣1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）。

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，連接FG，

則G（﹣1，0），AG=2。

∵直線AB的解析式為y=x+3，

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣1+3=2�！郋點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）。

∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG﹣S_△EFG

=×2×2+×2×（m²+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m²+3m，

∴以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3時(shí)，m²+3m=3，

解得m₁=，m₂=（舍去）。

當(dāng)m=時(shí)，﹣m²﹣2m+3=﹣m²﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=。

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）。

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，n），．

∵B（0，3），C（1，0），∴BC²=1²+3²=10。

分三種情況：

①如圖2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，

即（0+1）²+（n﹣3）²+10=（1+1）²+（n﹣0）²，

化簡(jiǎn)整理得6n=16，解得n=。

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）。

∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），

∴PD=4﹣=。

∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，∴t₁=秒。

②如圖3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，

即（0+1）²+（n﹣3）²+（1+1）²+（n﹣0）²=10，

化簡(jiǎn)整理得n²﹣3n+2=0，解得n=2或1。

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）或（﹣1，1），

∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），

∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3。

∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，∴t₂=2秒，t₃=3秒。

③如圖4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，

即10+（1+1）²+（n﹣0）²=（0+1）²+（n﹣3）²，

化簡(jiǎn)整理得6n=﹣4，解得n=。

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）。

∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），∴PD=4+=。

∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴t₄=秒。

綜上所述，當(dāng)t為秒或2秒或3秒或秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形。