Question

方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實根，若方程x²+2ax+k=0也有相異兩實根，且其兩根介于上面方程的兩根之間，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實根，則△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

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2

）²+

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4

]，得a為任意實數，由方程x²+2ax+k=0也有相異兩實根，△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；并且它的兩根介于上面方程的兩根之間，可利用二次函數的圖象繼續(xù)求k的范圍．

解答：解：∵方程x²+2ax+a-4=0恒有相異兩實根，
∴△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，
又∵方程x²+2ax+k=0有相異兩實根，
∴△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；
對于二次函數y₁=x²+2ax+a-4，y₂=x²+2ax+k，它們的對稱軸相同，且與x軸都有兩個不同得交點，要讓y₂與x軸兩個交點都在y₁與x軸兩個交點之間，則要滿足y₂與y軸的交點在y₁與y軸的交點上方，如圖，

則有k＞a-4，
所以k的取值范圍是 a-4＜k＜a²．
故答案為a-4＜k＜a²．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了運用二次函數圖象解決不等式的問題．