Question

如圖，對稱軸為的拋物線與軸相交于點、.

(1）求拋物線的解析式，并求出頂點的坐標；

(2)連結AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過原點O，得到直線l.點P是l上一動點.設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為，當0＜S≤18時，求的取值范圍；

(3)在（2）的條件下，當取最大值時，拋物線上是否存在點，使△OP為直角三角形且OP為直角邊.若存在,直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵點B與O（0，0）關于x=3對稱,

∴點B坐標為（6，0）.

將點B坐標代入得：

36+12=0,

∴=.

∴拋物線解析式為.

當=3時，,

∴頂點A坐標為（3，3）.

（說明：可用對稱軸為,求值,用頂點式求頂點A坐標.）

（2）設直線AB解析式為y=kx+b.

∵A(3,3),B(6,0),

∴   解得,   ∴.

∵直線∥AB且過點O,

∴直線解析式為.

∵點是上一動點且橫坐標為,

∴點坐標為（）.

當在第四象限時（t＞0），

=12×6×3+×6×

=9+3.

∵0＜S≤18,

∴0＜9+3≤18,

∴-3＜≤3.

又＞0,

∴0＜≤3.5分

當在第二象限時（＜0）,

作PM⊥軸于M，設對稱軸與軸交點為N. 則

=-3+9.

∵0＜S≤18,

∴0＜-3+9≤18,

∴-3≤＜3.

又＜0,

∴-3≤＜0.6分

∴t的取值范圍是-3≤＜0或0＜≤3.

(3)存在，點坐標為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.