Question

已知關(guān)于x的方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊長為a=6，另兩邊長b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需證明△≥0即可．
（2）利用求根公式計(jì)算出方程的兩根x₁=3k-1，x₂=2，則可設(shè)b=2k-1，c=2，然后討論：當(dāng)a、b為腰；當(dāng)b、c為腰，分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長即可．

解答：（1）證明：△=[-（3k+1）]²-4×1×（2k²+2k），
=k²-2k+1，
=（k-1）²，
∵無論k取什么實(shí)數(shù)值，（k-1）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）x²-（3k+1）x+2k²+2k=0，
因式分解得：（x-2k）（x-k-1）=0，
解得：x₁=2k，x₂=k+1，
∵b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)b=2k，c=k+1，
當(dāng)a、b為腰，則a=b=6，而a+b＞c，a-b＜c，所以三角形的周長為：6+6+4=16；
當(dāng)b、c為腰，則k+1=2k，解得k=1，
∴b=c=2，因?yàn)?，2，2不構(gòu)成三角形，∴所以這種情況不成立；
當(dāng)a、c為腰 k+1=6 則k=5，
∴b=10，
∴三角形的周長為：6+6+10=22．
綜上，三角形的周長為16或22．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．