Question

如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB=2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P沿射線(xiàn)AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，PQ與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)D．
（1）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△PCQ的面積為S．求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)，S_△PCQ=S_△ABC；
（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在線(xiàn)段AB上；②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上．
△PCQ都是以CQ為底，PB為高，可據(jù)此得出S、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）先計(jì)算出△ABC的面積，然后將其值代入（1）中得出的兩個(gè)函數(shù)式中，即可得出所求的AP的長(zhǎng)．
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：
①當(dāng)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，過(guò)P作PF∥QB交AC于F，那么不難得出△PFD≌△QCD，因此DF=CD=

CF

2

，而CF=AC-2AE，因此根據(jù)DE=EF+DF即可得出DE的長(zhǎng)．
②當(dāng)P在線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，DE=EF-FD．
然后比較①②的DE的長(zhǎng)是否相等即可判斷出線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是否改變．

解答：解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)（如圖1），S_△PCQ=

1

2

CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=2-x．
∴S_△PCQ=

1

2

x（2-x）．
即S=

1

2

（2x-x²）（0＜x＜2）；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖2），S_△PCQ=

1

2

CQ•PB．
∵AP=CQ=x，PB=x-2．
∴S_△PCQ=

1

2

x（x-2）．
即S=

1

2

（x²-2x）（x＞2）；

（2）S_△ABC=

1

2

×2×2=2．
①令

1

2

（2x-x²）=2，即x²-2x+4=0，此方程無(wú)解；
②令

1

2

（x²-2x）=2，即x²-2x-4=0，解得x=1±

5

．
故當(dāng)AP的長(zhǎng)為1+

5

時(shí)，S_△PCQ=S_△ABC．

（3）作PF∥BC交AC交延長(zhǎng)線(xiàn)于F，則AP=PF=CQ．
∴△PFD≌△QCD．
∴FD=CD=

CF

2

．
∵AP=x，
∴AE=EF=

2 x

2

．
∵AB=2，
∴AC=2

2

．
①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，
∵CF=AC-AF=2

2

-

2

x，F(xiàn)D=

CF

2

=

2

-

2

2

x．
∴DE=EF+DF=

2

-

2

2

x+

2 x

2

=

2

；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
∵CF=AF-AC=

2

x-2

2

．FD=

CF

2

=

2

2

x-

2

．
∴DE=EF-FD=AF-AE-DF=

2

x-

2

2

x-（

2

2

x-

2

）=

2

．
故當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度保持不變，始終等于

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．