Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)P，OA＝5，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．

（1）求證：AB＝AC；

（2）若PC＝2，求⊙O的半徑及線段PB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑為3，線段PB的長(zhǎng)為．

【解析】

（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA＝∠OAC＝90°，推出∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠CPA＝90°，求出∠ACP＝∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；

（2）延長(zhǎng)AP交⊙O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，在Rt△OAB中根據(jù)勾股定理求出r，再證△DPB∽△CPA，得出＝，代入求出即可．

證明：（1）如圖1，連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA＝∠OAC＝90°，

∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，

∵OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB，

∵∠OPB＝∠APC，

∴∠ACP＝∠ABC，

∴AB＝AC；

（2）如圖2，延長(zhǎng)AP交⊙O于D，連接BD，

設(shè)圓半徑為r，則OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，

則AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2，

AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（5﹣r）2，

∴52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，

解得：r＝3，

∴AB＝AC＝4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD＝90°＝∠PAC，

又∵∠DPB＝∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴＝，

∴＝，

解得：PB＝．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長(zhǎng)為．