Question

如圖1，點(diǎn)A為拋物線C₁：y=x²﹣2的頂點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）直線AB交拋物線C₁于另一點(diǎn)C
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，平行于y軸的直線x=3交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線C₁于點(diǎn)E，平行于y軸的直線x=a交直線AB于F，交拋物線C₁于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如圖2，將拋物線C₁向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線C₂，且拋物線C₂的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N．NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí)，求m的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2；∵A（0，﹣2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則：，解得
∴直線AB解析式為y=2x﹣2．
∵點(diǎn)C為直線y=2x﹣2與拋物線y=x²﹣2的交點(diǎn)，
則點(diǎn)C的橫、縱坐標(biāo)滿足：，
解得、（舍）∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，6）．
（2）直線x=3分別交直線AB和拋物線C₁于D．E兩點(diǎn)．
∵y_D=4，y_E=，∴DE=．
∴FG=DE=4：3，
∴FG=2．
∴直線x=a分別交直線AB和拋物線C₁于F、G兩點(diǎn)．
∴y_F=2a﹣2，y_G=a²﹣2×FG=|2a﹣a²|=2，
解得：a₁=2，a₂=﹣2+2，a₃=2﹣2．
（3）設(shè)直線MN交y軸于T，過點(diǎn)N做NH⊥y軸于點(diǎn)H；
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0），
拋物線C₂的解析式為y=x²﹣2﹣m；
∴0=﹣t²﹣2﹣m，
∴﹣2﹣m=﹣t²．
∴y=x²﹣t²，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣t²）．
∵點(diǎn)N是直線AB與拋物線y=x²﹣t²的交點(diǎn)，
則點(diǎn)N的橫、縱坐標(biāo)滿足：，
解得、（舍）
∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均為等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN×OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t²．
∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT，
∴﹣t+t²=（2﹣t），
∴t₁=﹣2，t₂=2（舍）
﹣2﹣m=﹣t²=﹣（﹣2）²，
∴m=2．