【題目】如圖1,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD.
(1)求證:BD平分∠ABC;
(2)如圖2,點(diǎn)E、F分別在AB、BC上,連接EF,M是EF的中點(diǎn),過M作EF的垂線交BD于P.求證:AE+CF=PD;
(3)如圖3,在(2)條件下,連AF,若AE=CF,∠DAF=2∠AFE=2α,AF=13,BC=12,(BC>AB).求BD的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)17
【解析】
(1)作DG⊥BC于G,DH⊥BA于H,通過證明△DAH≌△DCG可證點(diǎn)D到BA和BC的距離相等;
(2)PM是中垂線,因此連接PE、PF,有PE=PF,由第(1)問可知∠ABD=∠CBD,則B、E、P、F四點(diǎn)共圓,推出∠EPF是直角,將△BEP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△NFP,可以得出BE+BF=BP,注意四邊形ABCD的結(jié)構(gòu)與四邊形PEBF結(jié)構(gòu)一樣,因此同理可得AB+BC=BD,進(jìn)而得出所證結(jié)論.
(3)由于AE=CF,因此可以考慮CF為邊在BC上方構(gòu)造△QCF≌△FEA,連接AQ、AC.可以推出△AFQ是等腰直角三角形,同時(shí)注意△ACD也是等腰直角三角形,∠CAQ是兩個(gè)45°的重疊角,于是∠CAQ=90﹣2α,然后可推出AC=AQ,而AQ=AF=13,BC已知,由勾股定理可算出AB長度,根據(jù)第(2)問中的結(jié)論,BD長度就自然得出.
解:(1)如圖1,作DG⊥BC于G,DH⊥BA于H.
則∠DHA=∠DGC=90°.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BAD+∠DAH=180°,
∴∠DAH=∠DCG,
在△DAH和△DCG中:
,
∴△DAH≌△DCG(AAS),
∴DH=DG,
∴BD平分∠ABC.
(2)如圖2,連接PE、PF,
∵M(jìn)為EF中點(diǎn)且PM⊥EF,
∴PE=PF,
∵∠EBP=∠FBP,
∴P、E、B、F四點(diǎn)共圓,
∴∠PEB+∠PFB=∠EBF+∠EPF=180°,
∴∠EBF=90°,
∴∠EPF=90°,
在FC上截取FN=BE,連接PN.
∴∠PFN+∠PFB=180°,
∴∠PFN=∠PEB,
在△PEB和△PFN中:
,
∴△PEB≌△PFN(SAS),
∴PB=PN,∠EPB=∠FPN
∴∠BPN=∠BPF+∠FPN=∠BPF+∠EPB=∠EPF=90°,
∴△BPN是等腰直角三角形,
∴BN=BP,
∵BN=BF+FN=BF+BE,
∴BE+BF=BP,
同理可證BA+BC=BD,
∴AE+BE+BF+FC=(BP+PD)=BP+PD,
∴AE+CF=PD.
(3)如圖3,作△QCF≌△FEA,連接AQ、AC.
則∠EAF=∠CFQ,AF=FQ,∠FQC=∠AFE=α,
∵∠EAF+∠AFB=90°,
∴∠CFQ+∠AFB=90°,
∴∠AFQ=90°,
∴△AFQ是等腰直角三角形,
∴AQ=AF=13,∠FAQ=∠FQA=45°,
∵AD=DC,∠ADC=90°,
∴△ADC是等腰直角三角形,
∴∠DAC=∠DCA=45°,
∴∠DAC+∠FAQ=∠DAF+∠QAC=90°,
∴∠QAC=90°﹣∠DAC=90°﹣2α,
∵∠AQC=∠AQF+∠FQC=45°+α,
∴∠ACQ=180°﹣∠QAC﹣∠AQC=45°+α,
∴AC=AQ=13,
∵BC=12,
∴AB=5,
由(2)可知AB+BC=BD,
∴BD=(AB+BC)=17.
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(1)求這兩種品牌計(jì)算器的單價(jià);
(2)學(xué)校開學(xué)前夕,該商店對(duì)這兩種計(jì)算器開展了促銷活動(dòng),具體辦法如下:A品牌計(jì)算器按原價(jià)的八折銷售,B品牌計(jì)算器5個(gè)以上超出部分按原價(jià)的七折銷售。設(shè)購買個(gè)x個(gè)A品牌的計(jì)算器需要y1元,購買x個(gè)B品牌的計(jì)算器需要y2元,分別求出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)小明準(zhǔn)備聯(lián)系一部分同學(xué)集體購買同一品牌的計(jì)算器,若購買計(jì)算器的數(shù)量超過5個(gè),購買哪種品牌的計(jì)算器更合算?請(qǐng)說明理由。
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(1)求證:四邊形DECF是平行四邊形;
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根據(jù)所給信息,解答以下問題:
(1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,C對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是 度;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)所抽取學(xué)生的足球運(yùn)球測(cè)試成績的中位數(shù)會(huì)落在 等級(jí);
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A. B.
C. D.
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