Question

如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑．
（1）求證：AC•AB=AD•AE；
（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接BE，由圓周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，可得∠ADC=∠ABE=90°，則可證得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得AC•AB=AD•AE；
（2）由（1）即可求得直徑AE的長，繼而求得⊙O的面積．

解答：（1）證明：連接BE，
∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE．
∴AC：AE=AD：AB，
∴AC•AB=AD•AE；

（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，
∴AE=

AC•AB

AD

=

5×6

3

=10，
∴OA=5，
∴⊙O的面積為：π×5²=25π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理與相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．