已知:如圖,矩形ABCD中,CH⊥BD于點H,P為AD上的一個動點(點P與點A、D不重合),CP與BD交于點E,若CH=
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,DH:CD=5:13,設(shè)AP=x,四邊形ABEP的面積為y.
(1)求BD的長;
(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)四邊形ABEP的面積是△PED面積的5倍時,連接PB,判斷△PAB與△PDC是否相似?如果精英家教網(wǎng)相似,求出相似比;如果不相似,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)DH、CD的比例關(guān)系,可用未知數(shù)表示出它們的長,由勾股定理可得到CH的表達(dá)式,已知了CH的長,即可求得CD、DH的長;在Rt△CBD中,CH⊥BD于H,由射影定理即可求得BD的長;
(2)Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理易求得BC的長,即可得到PD的表達(dá)式;過E點作EF⊥AD于點F,延長FE交BC于點M,則EF、EM分別是△DPE、△BCE的高,易證得這兩個三角形相似,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例即可得到EF、EM的比例關(guān)系式,聯(lián)立EF+EM=CD=5,即可求得EF的長,進(jìn)而可得到△PED的面積;由于四邊形APEB的面積是△ABD和△PED的面積差,由此的求得y、x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)四邊形ABEP的面積是△PED面積的5倍時,那么其面積是△ABD的
5
6
,由此可求得四邊形ABEP的面積,代入(2)的函數(shù)關(guān)系式中,即可求得AP的長,進(jìn)而可根據(jù)AP、PD、AB、CD的長來判斷出△PAB與△PDC是否相似.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵DH:CD=5:13,
∴設(shè)DH=5k(k>0),則CD=13k
∵CH⊥BD于點H
在Rt△CHD中,
根據(jù)勾股定理,CH2+DH2=CD2
∴CH=
CD2-DH2
=
(13k)2-(5k)2

=12k
∵CH=
60
13

∴12k=
60
13

∴k=
5
13

∴DC=5,DH=
25
13

∵四邊形ABCD是矩形
∴∠BCD=90°
∴DC2=DH•BD
∴BD=
DC2
DH
=13.

(2)Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理,BC=
BD2-DC2
=12
∴AD=12
∵AP=x
∴PD=12-x
過E點作EF⊥AD于點F,延長FE交BC于點M
則EM⊥BC
∵AD∥BC
∴△EDP∽△EBC
∵EF+EM=5
∴EM=5-EF
EF
5-EF
=
12-x
12

∴EF=
5(12-x)
24-x

∴S△PED=
1
2
(12-x)•
5(12-x)
24-x
=
5(12-x)2
2(24-x)

∵S△ABD=
1
2
AB•AD=
5×12
2
=30
又∵S四邊形ABEP=S△ABD-S△PED
∴y=30-
5(12-x)2
2(24-x)

其中0<x<12
精英家教網(wǎng)
(3)∵S四邊形ABEP=
5
6
S△ABD=25
∴30-
5(12-x)2
2(24-x)
=25
整理,得
x2-22x+96=0
解得x1=6,x2=16
經(jīng)檢驗x1=6,x2=16是原方程的根,但x2=16不合題意舍去.
∴x=6
∴AP=6
當(dāng)AP=6時,P為AD中點
連接PB
則△PAB≌△PDC(如圖2)
∴△PAB與△PDC相似,相似比為1.
精英家教網(wǎng)
點評:此題主要考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力,綜合性強,難度較大.
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12
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