Question

如圖，以△ABC的邊BC為弦，在點(diǎn)A的同側(cè)畫(huà)

BC

交AB于D，且∠BDC=90°+

1

2

∠A，點(diǎn)P是

BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）判定△ADC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若∠A=70°，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠PBA=∠PBC=15°時(shí)，求∠ACB和∠ACP的度數(shù)．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在

BC

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P畫(huà)直線MN⊥AP，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°與鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角對(duì)等邊，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的內(nèi)角和定理，可得∠ACB=80°，根據(jù)已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB與∠ACP的度數(shù)；
（3）由當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至

CD

的中點(diǎn)時(shí)，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可設(shè)∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表達(dá)可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+

x

2

=∠BPC，問(wèn)題得證．

解答：解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=90°+

∠A

2

，
∴∠ADC=90°-

∠A

2

，
∴∠ACD=90°+

∠A

2

-∠A=90°-

∠A

2

，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．

（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+

70°

2

=125°，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB為80°，∠ACP為40°．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至

CD

的中點(diǎn)時(shí)，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P運(yùn)動(dòng)至

CD

的中點(diǎn)，
∴∠ABP=∠CBP，
設(shè)∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（90+

x

2

）=90-y-

x

2

，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-

x

2

）=90-y-

x

2

，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至

CD

的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P是△ABC的角平分線的交點(diǎn)．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+

x

2

=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．