Question

將拋物線(xiàn)沿c₁：y=-

3

x²+

3

沿x軸翻折，得拋物線(xiàn)c₂，如圖所示．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)c₂的表達(dá)式．
（2）現(xiàn)將拋物線(xiàn)C₁向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A，B；將拋物線(xiàn)C₂向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為N，與x軸交點(diǎn)從左到右依次為D，E．
①當(dāng)B，D是線(xiàn)段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；
②在平移過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可求拋物線(xiàn)c₂的表達(dá)式；
（2）①求出拋物線(xiàn)c₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分當(dāng)AD=

1

3

AE時(shí)，當(dāng)BD=

1

3

AE時(shí)兩種情況討論求解；
②存在．理由：連接AN，NE，EM，MA．根據(jù)矩形的判定即可得出．

解答：解：（1）y=

3

x²-

3

．

（2）①令-

3

x²+

3

=0，得x₁=-1，x₂=1
則拋物線(xiàn)c₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0）．
∴A（-1-m，0），B（1-m，0）．
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）．
當(dāng)AD=

1

3

AE時(shí)，
（-1+m）-（-1-m）=

1

3

[（1+m）-（-1-m）]，
∴m=

1

2

．
當(dāng)BD=

1

3

AE時(shí)，
（1-m）-（-1+m）=

1

3

[（1+m）-（-1-m）]，∴m=2．
故當(dāng)B，D是線(xiàn)段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，m=

1

2

或2．
②存在．
理由：連接AN，NE，EM，MA．依題意可得：M（-m，

3

），N（m，-

3

）．
即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，∴OM=ON．
∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，∴OA=OE
∴四邊形ANEM為平行四邊形．
∵AM²=（-m+1+m）²+（

3

）²=4，
ME²=（1+m+m）²+（

3

）²=4m²+4m+4，
AE²=（1+m+1+m）²=4m²+8m+4，
若AM²+ME²=AE²，則4+4m²+4m+4=4m²+8m+4，∴m=1，
此時(shí)△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴當(dāng)m=1時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了翻折的性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定，注意分析題意分情況討論結(jié)果．