Question

如圖，已知拋物線（b，c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）．

（1）b= ，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為 （上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2）連接BC，過點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線交于點(diǎn)E．點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．

①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有 個(gè)．

Answer 1

（1） +c，-2c；（2） y=x2-x-2；;（3） +c，-2c；11．

【解析】

試題分析：（1）將A（-1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出-1•xB=，即xB=-2c；

（2）由y=x2+bx+c，求出此拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），則可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+c；由AE∥BC，設(shè)直線AE得到解析式為y=x+m，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AE得到解析式為y=x+；解方程組，求出點(diǎn)E坐標(biāo)為（1-2c，1-c），將點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線CD的解析式y(tǒng)=-x+c，求出c=-2，進(jìn)而得到拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（3）①分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，由0＜S＜S△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交CB于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x2-x-2），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（x，x-2），PF=PG-GF=-x2+2x，S=PF•OB=-x2+4x=-（x-2）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大值=4，即0＜S≤4．則0＜S＜5；

②由0＜S＜5，S為整數(shù)，得出S=1，2，3，4．分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，根據(jù)△PBC中BC邊上的高h(yuǎn)小于△ABC中BC邊上的高AC=，得出滿足條件的△PBC共有4個(gè)；（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，由于S=-x2+4x，根據(jù)一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的△PBC共有7個(gè)；則滿足條件的△PBC共有4+7=11個(gè)．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），

∴0=×（-1）2+b×（-1）+c，

∴b=+c，

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）、B（xB，0）（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），

∴-1與xB是一元二次方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根，

∴-1•xB=，

∴xB=-2c，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2c；

（2）∵拋物線y=x2+bx+c與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，c）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c，

∵B（-2c，0），

∴-2kc+c=0，

∵c≠0，

∴k=，

∴直線BC的解析式為y=x+c．

∵AE∥BC，

∴可設(shè)直線AE得到解析式為y=x+m，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），

∴×（-1）+m=0，解得m=，

∴直線AE得到解析式為y=x+．

由，解得，，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1-2c，1-c）．

∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，c），點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0），

∴直線CD的解析式為y=-x+c．

∵C，D，E三點(diǎn)在同一直線上，

∴1-c=-×（1-2c）+c，

∴2c2+3c-2=0，

∴c1=（與c＜0矛盾，舍去），c2=-2，

∴b=+c=-，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（3）①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x2-x-2）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2），

∴AB=5，OC=2，直線BC的解析式為y=x-2．

分兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，0＜S＜S△ACB．

∵S△ACB=AB•OC=5，

∴0＜S＜5；

（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交CB于點(diǎn)F．

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（x，x-2），

∴PF=PG-GF=-（x2-x-2）+（x-2）=-x2+2x，

∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=（-x2+2x）×4=-x2+4x=-（x-2）2+4，

∴當(dāng)x=2時(shí)，S最大值=4，

∴0＜S≤4．

綜上可知0＜S＜5；

②∵0＜S＜5，S為整數(shù)，

∴S=1，2，3，4．

分兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，設(shè)△PBC中BC邊上的高為h．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2），

∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，

∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC邊上的高AC=．

∵S=BC•h，

∴h=S．

如果S=1，那么h=×1=＜，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)，△PBC有1個(gè)；

如果S=2，那么h=×2=＜，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)，△PBC有1個(gè)；

如果S=3，那么h=×3=＜，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)，△PBC有1個(gè)；

如果S=4，那么h=×4=＜，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)，△PBC有1個(gè)；

即當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，滿足條件的△PBC共有4個(gè)；

（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí)，S=-x2+4x．

如果S=1，那么-x2+4x=1，即x2-4x+1=0，

∵△=16-4=12＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)P點(diǎn)有2個(gè)，△PBC有2個(gè)；

如果S=2，那么-x2+4x=2，即x2-4x+2=0，

∵△=16-8=8＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)P點(diǎn)有2個(gè)，△PBC有2個(gè)；

如果S=3，那么-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

∵△=16-12=4＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)P點(diǎn)有2個(gè)，△PBC有2個(gè)；

如果S=4，那么-x2+4x=4，即x2-4x+4=0，

∵△=16-16=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)，△PBC有1個(gè)；

即當(dāng)0＜x＜4時(shí)，滿足條件的△PBC共有7個(gè)；

綜上可知，滿足條件的△PBC共有4+7=11個(gè)．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．