Question

已知⊙O過點(diǎn)D（4，3），點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，過H作⊙O的切線交y軸于點(diǎn)A（如圖1）．
（1）求⊙O半徑；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如圖2，設(shè)⊙O與y軸正半軸交點(diǎn)P，點(diǎn)E、F是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)（與P點(diǎn)不重合），連接并延長(zhǎng)DE，DF交⊙O于點(diǎn)B，C，直線BC交y軸于點(diǎn)G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)D在圓上，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)利用勾股定理即可求得OD的長(zhǎng)，即半徑；
（2）連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，根據(jù)同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根據(jù)已知可求得sin∠OHQ的值，則sin∠HAO的值也就求得了；
（3）設(shè)點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為H，連接HD交OP于Q，則HD⊥OP，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及垂徑定理可得到∠CGO=∠OHQ，則求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．
解答：解：（1）點(diǎn)D（4，3）在⊙O上，
∴OD²=4²+3²，
∴OD=5，
∴⊙O的半徑r=OD=5；（1分）

（2）如圖1，連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ
∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；

（3）連接DH交y軸于點(diǎn)Q，連接OH交BC于點(diǎn)T（如圖2）．
∵D與H關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴DH⊥EF，
又∵△DEF為等腰三角形，
∴DH平分∠BDC，
∴∠BDH=∠HDC，
∴=，
∵HO為⊙O半徑，
∴OT⊥BC，
∴∠CGO=∠QHO，
∴當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，sin∠CGO的值不變．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)切線性質(zhì)，關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，解直角三角形及垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．