Question

如圖，已知矩形ABCD中AB：BC=3：1，點(diǎn)A、B在x軸上，直線y=mx+n（0＜m＜n＜

1

2

），過點(diǎn)A、C交y軸于點(diǎn)E，S_△AOE=

9

8

S_矩形ABCD，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)G在直線y=mx+n上，拋物線與y軸交于點(diǎn)F．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-3n，0）

；B的坐標(biāo)

（-n，0）

（用n表示）；
（2）abc=

-

4

9

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AE的解析式可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，已知AB=3BC，即AO=3OE，由此可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；易求得△AOE的面積，即可得到矩形ABCD的面積，由于AB=3BC，可用AB表示出矩形ABCD的面積，進(jìn)而可得到AB的值（含n的表達(dá)式），由此可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）由于點(diǎn)G是拋物線的頂點(diǎn)，即在拋物線的對稱軸上，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可求得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，而G點(diǎn)在直線AE上，那么G點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該是AB的

1

6

（由于AB=3BC=6y_G），由此可確定點(diǎn)G的坐標(biāo)；可將拋物線設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，將A或B的坐標(biāo)代入其中，即可求出含n的拋物線解析式，進(jìn)而可求出abc的值．

解答：解：（1）直線AE中，y=mx+n，則E（0，n）；
∵AB=3BC，則tan∠CAB=

1

3

，
∴OA=3OE=3n，即A（-3n，0）；
△AOE中，AO=3n，OE=n，則S_△AOE=

1

2

OA•OE=

3n2

2

；
矩形ABCD中，AB=3BC，則S_矩形ABCD=AB•BC=

1

3

AB²；
∵S_△AOE=

9

8

S_矩形ABCD，
∴

3n2

2

=

9

8

×

1

3

AB²，即AB=2n，
故OB=OA-AB=3n-2n，即B（-n，0），
∴A（-3n，0），B（-n，0）；

（2）∵G是拋物線的頂點(diǎn)，且A（-3n，0），B（-n，0），
∴G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2n；
易知G是線段AC的中點(diǎn)，故AB=3BC=6y_G，
∴G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

1

3

n；
即G（-2n，

1

3

n）；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2n）²+

1

3

n，
將A（-3n，0）代入上式，得：a×n²+

1

3

n=0，即a=-

1

3n

；
∴y=-

1

3n

（x+2n）²+

1

3

n=-

1

3n

x²-

4

3

x-n；
則abc=（-

1

3n

）×（-

4

3

）×（-n）=-

4

9

．
故答案為：（1）（-3n，0）；（-n，0）；（2）-

4

9

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等重要知識，由于本題中大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是字母，乍看之下無從下手，但是只要將字母當(dāng)做已知數(shù)來對待，即可按照常規(guī)思路解決問題．