精英家教網(wǎng)如圖,在正方形ABCD的對角線上取點E,使得∠BAE=15°,連接AE,CE.延長CE到F,連接BF,使得BC=BF.若AB=1,則下列結(jié)論:①AE=CE;②F到BC的距離為
2
2
;
③BE+EC=EF;④S△AED=
1
4
+
2
8
;⑤S△EBF=
3
12

其中正確的個數(shù)是( 。
A、2個B、3個C、4個D、5個
分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AB=BC,∠ABD=∠CBD=45,證△ABE≌△CBE,即可判斷①;過F作FH⊥BC于H,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出FH;過A作AM⊥BD交于M,根據(jù)勾股定理求出BD,根據(jù)三角形的面積公式即可求出高AM,根據(jù)三角形的面積公式求出即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:∵正方形ABCD,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,
∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE,
∴AE=CE,∴①正確;
∵過F作FH⊥BC于H,
∵BF=BC=1,
∴∠BFC=∠FCB=15°,
∴FH=
1
2
BF=
1
2
,∴②錯誤;
∵Rt△BHF中,
FH=
1
2
,BF=1,
∴CF=
(
1
2
)2+(1+
3
2
)2
=2+
3

∵BD是正方形ABCD的對角線,
∴AE=CE,
精英家教網(wǎng)
在EF上取一點N,使BN=BE,
又∵∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°,
∴△NBE為等邊三角形,
∴∠ENB=60°,
又∵∠NFB=15°,
∴∠NBF=45°,
又∵∠EBC=45°,
∴∠NBF=∠EBC,
又∵BF=BC,∠NFB=∠ECB=15°,
可證△FBN≌△CBE,
∴NF=EC,
故BE+EC=EN+NF=EF,
∴③正確;
過A作AM⊥BD交于M,
根據(jù)勾股定理求出BD=
2
,
由面積公式得:
1
2
AD×AB=
1
2
BD×AM,
AM=
1
2
=
2
2
,
∵∠ADB=45°,∠AED=60°,
∴DM=
2
2
,EM=
6
6

∴S△AED=
1
2
DE×AM=
1
4
+
3
12
,∴④錯誤;
S△EBF=S△FBC-S△EBC=
1
2
×1×
1
2
-
1
2
×1×[1-
(
1
4
+
3
12
)×2
1
]=
3
12
,∴⑤正確.
故選B.
點評:本題主要考查對正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,勾股定理,含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質(zhì)進行證明是解此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖:在正方形網(wǎng)格上有△ABC,△DEF,說明這兩個三角形相似,并求出它們的相似比.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D,過點D作⊙O的切線精英家教網(wǎng),交BC于點E.
(1)求證:點E是邊BC的中點;
(2)若EC=3,BD=2
6
,求⊙O的直徑AC的長度;
(3)若以點O,D,E,C為頂點的四邊形是正方形,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

23、如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,點E是邊AC的中點,連接DE,DE的延長線與邊BC相交于點F,AG∥BC,交DE于點G,連接AF、CG.
(1)求證:AF=BF;
(2)如果AB=AC,求證:四邊形AFCG是正方形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•陜西)如圖,正三角形ABC的邊長為3+
3

(1)如圖①,正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上,頂點N在邊AC上,在正三角形ABC及其內(nèi)部,以點A為位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面積最大(不要求寫作法);
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的邊長;
(3)如圖②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在邊AB上,點P、N分別在邊CB、CA上,求這兩個正方形面積和的最大值和最小值,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線交于點O,連接OC,已知AC=5,OC=6
2
,求另一直角邊BC的長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案