Question

24、（1）如圖，在圖1中，互不重疊的三角形共有3個(gè)，在圖2中，互不重疊的三角形共有5個(gè)，在圖3中，互不重疊的三角形共有7個(gè)，…，則在第n個(gè)圖形中，互不重疊的三角形共有

2n+1

個(gè)．（用含n的代數(shù)式表示）

（2）若在如圖4所示的n邊形中，P是A₁A_n邊上的點(diǎn)，分別連接PA₂、PA₃、PA₄…PA_n-1，得到n-1個(gè)互不重疊的三角形．

你能否根據(jù)這樣的劃分方法寫出n邊形的內(nèi)角和公式并說(shuō)明你的理由；
（3）反之，若在四邊形內(nèi)部有n個(gè)不同的點(diǎn)，按照（1）中的方法可得k個(gè)互不重疊的三角形，試探究n與k的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）解決本題時(shí)，可以分別計(jì)算出n=3時(shí)，4時(shí)，5時(shí)，6時(shí)，各自對(duì)應(yīng)的數(shù)值，看所得結(jié)果與n之間有什么關(guān)系，進(jìn)而即可求出答案；
（2）、（3）基本思路是把多邊形分成三角形的問(wèn)題，通過(guò)三角形的內(nèi)角和定理解決．

解答：解：（1）2n+1個(gè)．

（2）設(shè)n邊形的內(nèi)角和為k，則：
k=（n-1）×180°-180°
=（n-2）180°．

（3）又設(shè)在四邊形內(nèi)部有n個(gè)不同的點(diǎn)，且按（1）中的方法可得k個(gè)互不重疊的三角形，
而：四邊形的內(nèi)角和為360°，
∴360n+360°=k×180°，
則：2n+2=k．

點(diǎn)評(píng)：正確讀懂題目，理解例題的基本思路是解決本題的關(guān)鍵．