Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過點C，另一直角邊AB交于點E，我們知道，結(jié)論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）當∠CPD=30°時，求AE的長；
（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠CPD與∠AEP同為∠APE的余角，因此當∠DPC=30°時，∠AEP=30°．可在Rt△CPD中，根據(jù)∠CPD的度數(shù)和CD的長，求出PD的長，進而可求出AP的值．同理可在Rt△APE中，求出AE的長．
（2）由于Rt△AEP∽Rt△DPC，當△DPC的周長等于△AEP周長的2倍時，兩個三角形的相似比為1：2，即

CD

AP

=

PD

AE

=

PC

PE

=2，根據(jù)CD=AB=4，可求出PD的長．

解答：解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴當∠CPD=30°時，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cot30°=4

3

，
∴AP=AD-PD=10-4

3

．
在Rt△APE中，AP=10-4

3

，∠AEP=30°，因此AE=AP•cot30°=10

3

-12．

（2）假設(shè)存在這樣的點P，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴

CD

AP

=

PD

AE

=2．
∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在這樣的P點，且DP長為8．

點評：本題考查的是相似三角形和直角三角形的性質(zhì)，屬中學階段的常規(guī)題．