Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、C（0，3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D′的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BD，問在拋物線上是否存在點P，使∠DBP=45°？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A，C點代入即可求得a、b的值，即可解題；
（2）將點D代入拋物線中即可求得m的值，可得點D的坐標，即可求得∠DCB=∠ABC=45°=∠BCO，可得點D關于BC的對稱點D'落在OC上，即可解題；
（3）假設存在點P使得∠DBP=45°交y軸于點F，作D關于BC對稱點D'，連接DD'交BC于點E，連接BD，AC，BF，易求BE=的長度，易證∠DBE=∠ABF，即可證明△FOB∽△DEB，可得

FO

DE

=

OB

BE

，即可求得點F坐標，即可求得直線BF解析式，即可求得直線BF與拋物線交點，即可解題．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過A（-1，0）、C（0，3）兩點，
∴代入A，C點坐標得：

a-b-3a=0 -3a=3

，
解得：a=-1，b=2，
∴y=-x²+2x+3；
（2）將D點代入拋物線解析式得：m+1=-m²+2m+3，
解得：m₁=2，m₂=-1（不符合題意，舍去）
∴D點坐標（2，3）；
∴AB∥DC，
∴∠DCB=∠ABC=45°=∠BCO，
∴點D關于BC的對稱點D'落在OC上，
∴CD=CD'=2，
∴D'坐標（0，1）；
（3）假設存在點P使得∠DBP=45°交y軸于點F，
作D關于BC對稱點D'，連接DD'交BC于點E，連接BD，AC，BF，

∵-x²+2x+3=0時，x=-1或3，
∴點B坐標（3，0），
∴BC=3

2

，
∵CD=2，CD'=2，
∴DD'=2

2

，CE=

2

，BE=BC-CE=2

2

，
∵∠CBO=∠DBF=45°，
∴∠DBE=∠ABF，
∵∠DBP=∠ABC=45°，∠DBE=∠ABF，∠DEB=∠FOB=90°，
∴△FOB∽△DEB，
∴

FO

DE

=

OB

BE

，即

FO

2

=

3

2 2

，
∴FO=

3

2

，
∴F（0，

3

2

），
∵B（3，0），
設直線BC解析式為y=kx+b，代入B，F(xiàn)點坐標得：
直線BF解析式為y=-

1

2

x+

3

2

，
設直線BF與拋物線交點坐標為（x，y），
則

y=-x2+2x+3 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得：

x1=- 1 2 y1= 1 4

，

x2=3 y2=0

（不符合題意，舍去），
∴存在P點坐標為（-

1

2

，

1

4

）．

點評：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了拋物線和直線交點坐標的求解，考查了直線解析式的求解，考查了相似三角形的判定和相似三角形對應邊比例相等的性質，本題屬于綜合題，有一定難度．