Question

已知反比例函數y=

k

x

圖象過第二象限內的點A（-2，m），AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為3，若直線y=ax+b經過點A，并且經過反比例函數y=

k

x

的圖象上另一點C（n，-

3

2

），
（1）求反比例函數的解析式和直線y=ax+b解析式；
﹙2﹚求△AOC的面積；
（3）在坐標軸上是否存在一點P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△AOB的面積求出A點的坐標，然后根據A點坐標確定出反比例函數的解析式．進而求得C點的坐標．根據C、A的坐標即可求得直線AC的解析式；
（2）將△AOC分成△AOM和COM兩部分進行求解．先根據直線AC的解析式求出M的坐標，即可得出OM的長，然后根據A、C的縱坐標即可求出△AOC的面積；
（3）以O為圓心，OA為半徑，交坐標軸于四點，這四點均符合點P的要求．以A為圓心，AO為半徑，交坐標軸于兩點，作AO的垂直平分線，交坐標軸于兩點，因此共有8個符合要求的點．

解答：解：
（1）在Rt△OAB中，OB=2，S_△OAB=3，
∴AB=3，
即A（-2，3），
∴反比例函數的解析式為y=-

6

x

，
∴C（4，-

3

2

），
設直線AC的解析式為y=kx+b，則有：

-2k+b=3 4k+b=- 3 2

，
解得：

k=- 3 4 b= 3 2

，
∴y=-

3

4

x+

3

2

；

（2）根據（1）y=-

3

4

x+

3

2

，
得M（2，0），
∴OM=2，
∴S_△AOC=S_△AOM+S_△OCM=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=4.5；

（3）存在．
∵A（-2，3），
∴OA=

13

，
當OA=OP時，P₁（0，

13

）、P₂（

13

，0）、P₃（0，-

13

）、P₄（-

13

，0）；
當OA=AP時，P₅（0，6）、P₆（-4，0）；
當AP=OP時，P₇（0，

13

6

）、P₈（-

13

4

，0）．

點評：本題考查反比例函數和一次函數解析式的確定、圖形的面積求法、等腰三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．要注意（3）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要考慮到所有的情況，不要漏解．