Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G．
（1）求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若sin∠BAD=，⊙O的半徑為5，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；
∵∠A=∠BOD，
∴∠BOC=∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴，
則點(diǎn)E是的中點(diǎn)；

（2）證明：如圖所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切線；

（3）解：在△ADG中，∵sinA=，
設(shè)DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；
又∵⊙O的半徑為5，
∴OG=5-3x；
∵OD²=DG²+OG²，
∴5²=（4x）²+（5-3x）²；
∴x₁=，x₂=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×．
分析：（1）根據(jù)AD∥OC可得∠A=∠COB，從而判定=；
（2）連接OD，只要證明∠CDO=90°即可；
（3）在△ADG中用勾股定理求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定和勾股定理的運(yùn)用．